统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242 和 251.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 242x₂ = 251.25

P =

2.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

3.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 109.5 h，已知标准差 19 h。型号 2：40 部手机，均值 121.5 h，已知标准差 15 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 30x̄₁ = 109.5 hσ₁ = 19 hn₂ = 40x̄₂ = 121.5 hσ₂ = 15 h99%

上限 = h

4.置信区间困难

总体标准差为 28。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 28E = 295%

n =

5.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 190.3，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 190.3s = 15n = 16

t =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 100 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 56 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 100n₁ = 200x₂ = 56n₂ = 150

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4, 61)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4, 61)

e =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1602 × 3

χ² =

10.卡方检验困难

对一个 3 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。该检验的自由度 df 是多少？

3 × 6

df =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.5439

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (242 − 250)/5 = −1.6

z₂ = (251.25 − 250)/5 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(−1.6) = 0.5987 − 0.0548 = 0.5439

答案

P = 0.5439

2.正态分布

答案: x = 527 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.75

由表得到的 z

z ≈ 0.67

回到原来的单位

x = 500 + 0.67·40 = 527 h

答案

x = 527 h

3.置信区间

答案: 上限 = −1.175 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 109.5 − 121.5 = −12

标准误

SE = √(19²/30 + 15²/40) = 4.202

误差范围

E = 2.576·4.202 = 10.82

区间

−12 ± 10.82 → [−22.82, −1.175]

答案

上限 = −1.175 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

4.置信区间

答案: n = 753

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·28/2)² = 753

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 753

答案

n = 753

5.假设检验与置信区间

答案: t = −2.587

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

检验统计量

t = (190.3 − 200)/3.75 = −2.587

答案

t = −2.587

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: z = 2.359

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 100/200 = 0.5

p̂₂ = 56/150 = 0.3733

p̂ = 156/350 = 0.4457

H₀ 下的标准误

SE = √(0.4457·0.5543·(1/200 + 1/150)) = 0.05369

检验统计量

z = (0.5 − 0.3733)/0.05369 = 2.359

答案

z = 2.359

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r = 0.9754

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 321/6 = 53.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 229

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 787.5

答案

r = 0.9754

8.线性回归与相关

答案: e = 3.7

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 321/5 = 64.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

回归直线

b = 92/40 = 2.3

a = 64.2 − 2.3·7 = 48.1

ŷ = 48.1 + 2.3·x

预测值

ŷ = 48.1 + 2.3·4 = 57.3

残差

e = 61 − 57.3 = 3.7

答案

e = 3.7

该点位于直线上方。

9.卡方检验

答案: χ² = 36.53

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

白班: 120·80/160 = 60, 120·40/160 = 30, 120·40/160 = 30

夜班: 40·80/160 = 20, 40·40/160 = 10, 40·40/160 = 10

卡方统计量

χ² = (76 − 60)²/60 + (19 − 30)²/30 + (25 − 30)²/30 + (4 − 20)²/20 + (21 − 10)²/10 + (15 − 10)²/10

χ² = 36.53

答案

χ² = 36.53

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: df = 10

自由度

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

答案

df = 10

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