统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 8 个的总质量超过 325.1 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 8> 325.1 g

P =

2.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 10% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

3.置信区间中等

基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 11.9。用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 36E₁ = 11.995%

E₂ =

4.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 74 kg，标准差 8 kg。地块组 2：15 块地，均值 78.5 kg，标准差 4.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 7x̄₁ = 74s₁ = 8n₂ = 15x̄₂ = 78.5s₂ = 4.595%t(20) = 2.086

下限 = kg

5.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 51.31，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 51.31s = 15n = 64

t =

6.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 117.8。总体标准差为 10。求均值 90% 置信区间的上限 U。

x̄ = 117.8σ = 10n = 6490%

U =

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 42Σy = 356Σx² = 364Σy² = 22514Σxy = 2800

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 13)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 13)

e =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1602 × 3

χ² =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2603 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.06681

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 320 g, σ_T = 1.2·√8 = 3.394 g

标准化

z = (325.1 − 320)/3.394 = 1.5

概率

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

答案

P = 0.06681

2.正态分布

答案: x = 551 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.9

由表得到的 z

z ≈ 1.28

回到原来的单位

x = 500 + 1.28·40 = 551 h

答案

x = 551 h

3.置信区间

答案: E₂ = 9.054

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(36/36) = 0.7609

新的误差范围

E₂ = 11.9·0.7609 = 9.054

答案

E₂ = 9.054

4.置信区间

答案: 下限 = −10.02 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (6·8² + 14·4.5²)/20 = 33.38

s_p = 5.777

误差范围

E = 2.086·5.777·√(1/7 + 1/15) = 5.516

区间

−4.5 ± 5.516 → [−10.02, 1.016]

答案

下限 = −10.02 kg

5.假设检验与置信区间

答案: t = 0.6987

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

检验统计量

t = (51.31 − 50)/1.875 = 0.6987

答案

t = 0.6987

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: U = 119.9

误差范围

E = 1.645·10/√64 = 2.056

区间端点

U = 117.8 + 2.056 = 119.9

答案

U = 119.9

7.线性回归与相关

答案: r = 0.9869

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 2800 − 42·356/6 = 308

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 22514 − 356²/6 = 1391

答案

r = 0.9869

8.线性回归与相关

答案: e = −2.15

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 90/5 = 18

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

回归直线

b = −19/10 = −1.9

a = 18 − (−1.9)·3 = 23.7

ŷ = 23.7 − 1.9·x

预测值

ŷ = 23.7 + (−1.9)·4.5 = 15.15

残差

e = 13 − 15.15 = −2.15

答案

e = −2.15

该点位于直线下方。

9.卡方检验

答案: χ² = 7.074

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

学生: 40·40/160 = 10, 40·56/160 = 14, 40·64/160 = 16

教职工: 120·40/160 = 30, 120·56/160 = 42, 120·64/160 = 48

卡方统计量

χ² = (14 − 10)²/10 + (17 − 14)²/14 + (9 − 16)²/16 + (26 − 30)²/30 + (39 − 42)²/42 + (55 − 48)²/48

χ² = 7.074

答案

χ² = 7.074

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ² = 9.6

期望频数

18–30 岁: 75, 25

31–50 岁: 75, 25

51 岁及以上: 45, 15

卡方统计量

χ² = (72 − 75)²/75 + (28 − 25)²/25 + (69 − 75)²/75 + (31 − 25)²/25 + (54 − 45)²/45 + (6 − 15)²/15

χ² = 9.6

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

9.6 > 5.991

答案

χ² = 9.6

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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