梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 10 kN 位于 1 mP2 = 15 kN 位于 4 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 5 mP = 15 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 1 到 2 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mw = 3 kN/m，从 0 到 5 mx = 1.5 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 xc。
L = 10 mw = 8 kN/m，从 0 到 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
xc = m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 35 kN ↓G: 10 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
F: 25 kN ↓G: 10 kN ↓H: 15 kN ↓H: 40 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 0.5 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 13 kNa = 0.5 mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。
P = 15 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 105 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 105 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 23.33 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·3 = 10·1 + 15·4
RB = 70/3 = 23.33 kN
竖向平衡
RA = 10 + 15 − 23.33 = 1.667 kN
答案
RB = 23.33 kN
2.梁的支座反力
答案: RA = 16 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·2 + 10·1·1.5
RB = 45/5 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 9 = 16 kN
答案
RA = 16 kN
3.剪力和弯矩
答案: Vx = 3 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·5·2.5
RB = 37.5/5 = 7.5 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 7.5 = 7.5 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 7.5 − 3·1.5 = 3 kN
答案
Vx = 3 kN
4.剪力和弯矩
答案: xc = 7.5 m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·10·5
RB = 400/8 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 50 = 30 kN
弯矩为零
两支座之间 M(x) = RA·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2RA/w 处为零。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·30/8 = 7.5 m
答案
xc = 7.5 m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 10.31 kN (T), BC: 10.31 kN (T), CD: 23.44 kN (T), DE: 23.44 kN (T), FG: 20.62 kN (C), GH: 20.62 kN (C), AF: 17.19 kN (C), HE: 39.06 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 17.19 kN (T), HC: 4.688 kN (C)
答案
零杆: BF
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 2.5 kN (C), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 12.5 kN (T), FG: 37.5 kN (C), GH: 52.5 kN (C), AF: 53.03 kN (C), HE: 17.68 kN (C), BF: 12.5 kN (T), CG: 0, DH: 2.5 kN (C), BG: 17.68 kN (C), DG: 3.536 kN (T)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δB = 2.23 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 13000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 0.3186 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.0009559 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.23 mm
答案
δB = 2.23 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 7.666 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 15000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
最大值的位置
令较长段内的转角为零，即可得到该位置。
x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm
最大挠度
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 7.666 mm
答案
δmax = 7.666 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 27.56 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN
答案
Pcr = 27.56 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 85.8 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 85.8 mm
答案
d = 85.8 mm
校核：长细比 KL/r 为 233.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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