梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 8 mP1 = 30 kN 位于 2 mP2 = 15 kN 位于 5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并从 2.5 m 到位于 4 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RA，以向上为正。
AB = 3 mAC = 4 mP = 65 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 2.5 到 4 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 2.5 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 50 kN·m，没有其他荷载。 求力偶右侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mM0 = 50 kN·m 顺时针，作用于 2.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mP = 60 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 30 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 5 kN ←
FAC = kN
7.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 16 kNa = 2 mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 50 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 2 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 50 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 85 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 85 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 28.13 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 30·2 + 15·5
RB = 135/8 = 16.88 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 16.88 = 28.13 kN
答案
RA = 28.13 kN
2.梁的支座反力
答案: RA = 42.83 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
分布荷载的合力
W = 4·1.5 = 6 kN, x̄ = (2.5 + 4)/2 = 3.25 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·3 = 65·1 + 6·3.25
RB = 84.5/3 = 28.17 kN
RA = 71 − 28.17 = 42.83 kN
答案
RA = 42.83 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mx = 29.17 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 50/6 = 8.333 kN (向上)
RA = −RB = −8.333 kN (向下)
在力偶右侧紧邻处截开
左侧部分现在包含 RA 和力偶。
Mx = RA·a + M0 = −8.333·2.5 + 50 = 29.17 kN·m
答案
Mx = 29.17 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 57.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·1 + 3·6·3
RB = 114/6 = 19 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 19 = 59 kN
V = 0 在哪里？
V(1⁻) = RA − w·1 = 56 kN
V(1⁺) = 56 − 60 = −4 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·1 − w·1²/2 = 59·1 − 3·1²/2 = 57.5 kN·m
答案
Mmax = 57.5 kN·m
它出现在距 A 为 x = 1 m 处。
5.桁架：节点法
答案: FAB = −27.06 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·1 → Cy = 3.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 3.75 = 26.25 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26.25/0.9701 = −27.06 kN
答案
FAB = −27.06 kN (受压)
6.桁架：节点法
答案: FAC = 22 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 60·3 − 5·3 → Cy = 33 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 33 = 27 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33/0.8321 = −39.66 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−39.66)·0.5547 = 22 kN
答案
FAC = 22 kN (受拉)
7.梁的挠度
答案: δB = 60.61 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 16000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 24.24 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.01818 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 60.61 mm
答案
δB = 60.61 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 194.1 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·11.67) = 3.045 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·3.045 × 10⁷/50)1/3 = 194.1 mm
答案
hreq = 194.1 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 117 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
计算长度
KL = 2·1500 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3000² = 116973 N = 117 kN
答案
Pcr = 117 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 38.48 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 1·1000 = 1000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 38.48 mm
答案
d = 38.48 mm
校核：长细比 KL/r 为 103.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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