结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 25 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​ = ?1.5 m1.5 m3 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 6 mP1 = 25 kN 位于 1.5 mP2 = 20 kN 位于 3 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 3 kN/mP = 25 kNABCRB​ = ?1 m1.5 m0.5 m1 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并从 2.5 m 到位于 4 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RB，以向上为正。

AB = 3 mAC = 4 mP = 25 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 2.5 到 4 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
M0​ = 40 kN·mAB3.5 m1.5 m

简支梁在距 A 为 x = 3.5 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 40 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mM0 = 40 kN·m 顺时针，作用于 3.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
10 kN/m10 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 12 m15 kN @ 4 m10 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB50 kN8 m5 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 50 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB20 kN10 kN4 m1 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 10 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 4 kN/mδL = 8 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
P = 60 kNAB4 m4 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 8 mP = 60 kN 位于 4 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m25 × 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 5 md = 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 16.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 25 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1.5 m1.5 m3 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 25·1.5 + 20·3
RB = 97.5/6 = 16.25 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 16.25 = 28.75 kN

答案

RB = 16.25 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 13.21 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 3·1.5 = 4.5 kN, x̄ = (2.5 + 4)/2 = 3.25 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·3 = 25·1 + 4.5·3.25
RB = 39.63/3 = 13.21 kN
RA = 29.5 − 13.21 = 16.29 kN

答案

RB = 13.21 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = −28 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 40/5 = 8 kN (向上)
RA = −RB = −8 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 RA。

Mx = RA·a = −8·3.5 = −28 kN·m

答案

Mx = −28 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 42.5 kN, R2 = 62.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 65, MC = 90 kN·m, MD = 45, ME = −40, MF = −20, MG = 0

答案

标记点 C: MC = 90 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −39.06 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·5 → Cy = 31.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 31.25 = 18.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −31.25/0.8 = −39.06 kN

答案

FBC = −39.06 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = 3.536 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 − 10·3 → Cy = −2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −2.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−2.5/0.7071 = 3.536 kN

答案

FBC = 3.536 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δmax = 46.38 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 8000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 46.38 mm

答案

δmax = 46.38 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 18.75 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·60/16 = 18.75 kN

答案

RB = 18.75 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 7.996 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/3000² = 7996 N = 7.996 kN

答案

Pcr = 7.996 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 22.56 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

回转半径和长细比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22.56 MPa

答案

σcr = 22.56 MPa

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