结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 60 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?1 m5 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 8 mP1 = 60 kN 位于 1 mP2 = 15 kN 位于 6 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w0​ = 8 kN/mP = 80 kNABMA​ = ?4 m6 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 8 kN/m；另在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 10 mw0 = 8 kN/mP = 80 kN 位于 4 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
w = 8 kN/mP = 55 kNAB1 m3 m

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 55 kN 位于 1 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 m
MA = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 12 kN/mP = 35 kNAB截面2 m6 m

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 35 kN 位于 2 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB10 kN5 m3 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 10 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB35 kN15 kN5 m4 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 15 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 8 kN/mδL = 4 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 3 kN/mABδ3.5 m

一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。

w = 3 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 5 m25 × 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 50 kNL = 2.5 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 50 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 50 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 18.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 60 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1 m5 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 60·1 + 15·6
RB = 150/8 = 18.75 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 18.75 = 56.25 kN

答案

RB = 18.75 kN
2.梁的支座反力

答案: MA = 586.7 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·8·10 = 40 kN
x̄ = 2L/3 = 6.667 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 40·6.667 + 80·4 = 586.7 kN·m

答案

MA = 586.7 kN·m
3.剪力和弯矩

答案: MA = −119 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −55·1 = −55 kN·m
w: −8·4²/2 = −64 kN·m
MA = −55 − 64 = −119 kN·m

答案

MA = −119 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

4.剪力和弯矩

答案: Mx = 124.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·2 + 12·8·4
RB = 454/8 = 56.75 kN
ΣFy = 0: RA = 131 − 56.75 = 74.25 kN
w = 12 kN/mP = 35 kNABRA​ = 74.25RB​ = 56.75截面2 m6 m

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 74.25·2 − 12·2·1 = 124.5 kN·m

答案

Mx = 124.5 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 4 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·3 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 6 = 4 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6/0.8321 = −7.211 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−7.211)·0.5547 = 4 kN

答案

FAC = 4 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −2.236 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·4 + 15·2 → Cy = 34 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 34 = 1 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −1/0.4472 = −2.236 kN

答案

FAB = −2.236 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 15.69 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 15.69 mm

答案

δmax = 15.69 mm
8.梁的挠度

答案: hreq = 154 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

所需惯性矩

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·14) = 3.806 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = Ireq → h = (12·3.806 × 10⁷/125)1/3 = 154 mm

答案

hreq = 154 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: Pcr = 5.14 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

计算长度

KL = 1·5000 = 5000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/5000² = 5140 N = 5.14 kN

答案

Pcr = 5.14 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 60.67 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 60.67 mm

答案

d = 60.67 mm

校核：长细比 KL/r 为 115.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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