结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 40 kN 位于 2 mP₂ = 10 kN 位于 7 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并从 2.5 m 到位于 4 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP = 20 kN 位于 1 mw = 8 kN/m，从 2.5 到 4 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP₁ = 45 kN 位于 2.5 mP₂ = 70 kN 位于 3 m

M_max = kN·m

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 55 kN 位于 3.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 6 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 45 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 10 kN →

F_AC = kN

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 20 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 h_req。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 60 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 60 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 35 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·2 + 10·7

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 15 = 35 kN

答案

R_A = 35 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 8.4 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 8·1.5 = 12 kN, x̄ = (2.5 + 4)/2 = 3.25 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 20·1 + 12·3.25

R_B = 59/2.5 = 23.6 kN

R_A = 32 − 23.6 = 8.4 kN

答案

R_A = 8.4 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_max = 129 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·2.5 + 70·3

R_B = 322.5/5 = 64.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 64.5 = 50.5 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·2.5 = 50.5·2.5 = 126.3 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·2 = 64.5·2 = 129 kN·m

最大值

M_max = 129 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 129 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 88.96 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3.5 + 2·6·3

R_B = 228.5/6 = 38.08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 38.08 = 28.92 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 28.92·3.5 − 2·3.5·1.75 = 88.96 kN·m

答案

M_x = 88.96 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 30 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 30 = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0.7071 = −42.43 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42.43)·0.7071 = 30 kN

答案

F_AC = 30 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 19.69 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·1 + 10·4 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 11.25 = 38.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/8.062 = 0.4961, cos γ = 7/8.062 = 0.8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11.25/0.4961 = −22.68 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22.68)·0.8682 = 19.69 kN

答案

F_AC = 19.69 kN (受拉)

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.0381 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 20·8000³/(24·1.12 × 10¹³) = 0.0381 rad

答案

θ_A = 0.0381 rad

即 2.183°。

8.梁的挠度

答案: h_req = 260.5 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·16.67) = 1.841 × 10⁸ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·1.841 × 10⁸/125)^1/3 = 260.5 mm

答案

h_req = 260.5 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 139.5 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139.5 kN

答案

P_cr = 139.5 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 36.92 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 36.92 mm

答案

d = 36.92 mm

校核：长细比 KL/r 为 108.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis