结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 60 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​ = ?2 m3 m5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 10 mP1 = 60 kN 位于 2 mP2 = 35 kN 位于 5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m3 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 5 mP = 20 kN 位于 1 mw = 6 kN/m，从 2 到 5 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 2 kN/mP = 75 kNAB1.5 m0.5 m

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 2 mP = 75 kN 位于 1.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 2 m
MA = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 6 kN/mP = 50 kNAB1.5 m3.5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 5 mP = 50 kN 位于 1.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB15 kN5 m4 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 15 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB50 kN10 kN4 m1 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 10 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 20 kN/mδL = 3 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
P = 50 kNAB4 m4 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。

L = 8 mP = 50 kN 位于 4 m
MA = kN·m
9.柱的屈曲中等
PL = 2 md = 80 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 85 kNL = 1.5 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 85 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 85 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 29.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 60 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​2 m3 m5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·10 = 60·2 + 35·5
RB = 295/10 = 29.5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 29.5 = 65.5 kN

答案

RB = 29.5 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 16.6 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1 m1 m3 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·1 + 6·3·3.5
RB = 83/5 = 16.6 kN
ΣFy = 0: RA = 38 − 16.6 = 21.4 kN

答案

RB = 16.6 kN
3.剪力和弯矩

答案: MA = −116.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −75·1.5 = −112.5 kN·m
w: −2·2²/2 = −4 kN·m
MA = −112.5 − 4 = −116.5 kN·m

答案

MA = −116.5 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 68.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·1.5 + 6·5·2.5
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 30 = 50 kN

V = 0 在哪里？

V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 41 kN
V(1.5⁺) = 41 − 50 = −9 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 50·1.5 − 6·1.5²/2 = 68.25 kN·m

答案

Mmax = 68.25 kN·m

它出现在距 A 为 x = 1.5 m 处。

5.桁架：节点法

答案: FAB = −5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·4 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12 = 3 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3/0.6 = −5 kN

答案

FAB = −5 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −31.62 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·1 + 10·3 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 20 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0.9487 = −31.62 kN

答案

FAB = −31.62 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 2.511 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 2.511 mm

答案

δmax = 2.511 mm
8.梁的挠度

答案: MA = 75 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·50/16 = 15.63 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

MA = P·L/2 − RB·L = 200 − 125 = 75 kN·m

答案

MA = 75 kN·m
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 992.2 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 1·2000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992.2 kN

答案

Pcr = 992.2 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 44.57 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·85000 = 170000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 44.57 mm

答案

d = 44.57 mm

校核：长细比 KL/r 为 134.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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