结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 8 mP = 15 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 8 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP = 20 kN 位于 8 mw = 12 kN/m，从 8 到 9 m

R_B = kN

3.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP₁ = 75 kN 位于 2.5 mP₂ = 45 kN 位于 3 m

M_max = kN·m

4.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mP = 55 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 45 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 25 kN →

F_AC = kN

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 6 kNa = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 8 mP = 20 kN 位于 4 m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 40 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 40 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 39 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 3·8 = 24 kN, x̄ = 4 m

竖向平衡

R_A = P + W = 15 + 24 = 39 kN

答案

R_A = 39 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 26.2 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 8.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·8 + 12·1·8.5

R_B = 262/10 = 26.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 26.2 = 5.8 kN

答案

R_B = 26.2 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_max = 165.6 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·2.5 + 45·3

R_B = 322.5/6 = 53.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 53.75 = 66.25 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·2.5 = 66.25·2.5 = 165.6 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·3 = 53.75·3 = 161.3 kN·m

最大值

M_max = 165.6 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 165.6 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 109.9 kN·m

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 10·8·4

R_B = 375/8 = 46.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 46.88 = 88.13 kN

V = 0 在哪里？

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (88.13 − 55)/10 = 3.313 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 109.9 kN·m

答案

M_max = 109.9 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3.313 m 处。

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 42.19 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·3 → C_y = 16.88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 16.88 = 28.13 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16.88/0.3714 = −45.44 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−45.44)·0.9285 = 42.19 kN

答案

F_AC = 42.19 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 + 25·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 20 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0.6247 = −32.02 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−32.02)·0.7809 = 25 kN

答案

F_AC = 25 kN (受拉)

7.梁的挠度

答案: δ_P = 10.91 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 6000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·2000²·3000²/(3·1.32 × 10¹²·5000) = 10.91 mm

答案

δ_P = 10.91 mm

8.梁的挠度

答案: R_B = 6.25 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6.25 kN

答案

R_B = 6.25 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 11.24 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 2·4000 = 8000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/8000² = 11245 N = 11.24 kN

答案

P_cr = 11.24 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 57.37 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 57.37 mm

答案

d = 57.37 mm

校核：长细比 KL/r 为 122，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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