梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 4 mP = 20 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 0 到 2.5 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 1 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 4.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。
L = 5 mP = 60 kN 位于 1 m, θ = 40°Q = 25 kN 位于 4.5 m
α = °
3.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mP1 = 15 kN 位于 1 mP2 = 30 kN 位于 2 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 4 mP = 30 kN 位于 1.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 30 kN ↓C: 20 kN ↓D: 30 kN ↓H: 10 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 35 kN ↓F: 20 kN ↓F: 25 kN →
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 3 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 30 kNa = 3 mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: MA = 52.5 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
分布荷载的合力
W = 4·2.5 = 10 kN, x̄ = 1.25 m
对墙的力矩
MA = P·a + W·x̄ = 20·2 + 10·1.25 = 52.5 kN·m
答案
MA = 52.5 kN·m
2.梁的支座反力
答案: α = 35.97 °
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
P 的分量
Pv = 60·sin 40° = 38.57 kN
Ph = 60·cos 40° = 45.96 kN
反力
ΣMA = 0: RB·5 = 38.57·1 + 25·4.5 → RB = 30.21 kN
Ay = 38.57 + 25 − 30.21 = 33.35 kN
Ax = Ph = 45.96 kN
A 处的方向
α = atan(Ay/Ax) = atan(33.35/45.96) = 35.97°
答案
α = 35.97°
3.剪力和弯矩
答案: Mmax = 50 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 15·1 + 30·2
RB = 75/6 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 12.5 = 32.5 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·1 = 32.5·1 = 32.5 kN·m
荷载点 P2: M = RB·4 = 12.5·4 = 50 kN·m
最大值
Mmax = 50 kN·m (荷载点 P2)
答案
Mmax = 50 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 35.63 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1.5 + 4·4·2
RB = 77/4 = 19.25 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 19.25 = 26.75 kN
V = 0 在哪里？
V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 20.75 kN
V(1.5⁺) = 20.75 − 30 = −9.25 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 26.75·1.5 − 4·1.5²/2 = 35.63 kN·m
答案
Mmax = 35.63 kN·m
它出现在距 A 为 x = 1.5 m 处。
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 31.88 kN (T), BC: 31.88 kN (T), CD: 35.62 kN (T), DE: 35.62 kN (T), FG: 41.25 kN (C), GH: 41.25 kN (C), AF: 53.13 kN (C), HE: 59.37 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 15.62 kN (T), HC: 9.375 kN (T)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 60 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 20 kN (C), AF: 49.5 kN (C), HE: 28.28 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 28.28 kN (T), DG: 28.28 kN (C)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δP = 18.05 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 30000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 30000·3000²·2000²/(3·3.99 × 10¹²·5000) = 18.05 mm
答案
δP = 18.05 mm
8.梁的挠度
答案: Ireq = 43.95 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·5000⁴/(384·200000·13.89) = 4.395 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 43.95 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 43.95 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 17.27 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/3000² = 17272 N = 17.27 kN
答案
Pcr = 17.27 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 100.7 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/12.5 = 140
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa
答案
σcr = 100.7 MPa
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