梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2 m 承受均布荷载 w，并在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 5 mP = 50 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 0 到 2 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 10 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 5 mw0 = 10 kN/mP = 30 kN 位于 3 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
25 kN @ 2 m5 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 6 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 10 kN水平荷载 = 30 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 10 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 4 kNw = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: MA = 108 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
分布荷载的合力
W = 4·2 = 8 kN, x̄ = 1 m
对墙的力矩
MA = P·a + W·x̄ = 50·2 + 8·1 = 108 kN·m
答案
MA = 108 kN·m
2.梁的支座反力
答案: MA = 131.7 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·10·5 = 25 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 25·1.667 + 30·3 = 131.7 kN·m
答案
MA = 131.7 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: C (x = 2 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 31.67 kN, R2 = 23.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 29.17, MC = 53.33 kN·m, MD = 47.5, ME = 36.67, MF = 20.83, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 53.33 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 4.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·6·3
RB = 72/4 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 18 = 6 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 6/4 = 1.5 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 6²/(2·4) = 4.5 kN·m
答案
Mmax = 4.5 kN·m
5.桁架：节点法
答案: FAC = 37.5 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 60·3 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 22.5 = 37.5 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22.5/0.5145 = −43.73 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−43.73)·0.8575 = 37.5 kN
答案
FAC = 37.5 kN (受拉)
6.桁架：节点法
答案: FAC = 11.25 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 + 30·2 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 22.5 = −12.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22.5/0.8944 = −25.16 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−25.16)·0.4472 = 11.25 kN
答案
FAC = 11.25 kN (受拉)
7.梁的挠度
答案: δmax = 25.25 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 25.25 mm
答案
δmax = 25.25 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 43.54 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 8000 mm, EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 4000·8000³/(48·5.88 × 10¹²) = 7.256 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 36.28 mm
相加
δmax = 7.256 + 36.28 = 43.54 mm
答案
δmax = 43.54 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 113.3 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1400² = 113299 N = 113.3 kN
答案
Pcr = 113.3 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 30.71 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/10 = 150
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa
答案
σcr = 30.71 MPa
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