结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 40 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​4 m1 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 6 mP1 = 40 kN 位于 4 mP2 = 50 kN 位于 5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 8 kN/mP = 30 kNABRA​ = ?RB​1.5 m0.5 m2 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 6 mP = 30 kN 位于 1.5 mw = 8 kN/m，从 2 到 4 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 12 kN/mAB截面5 m3 m

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 12 kN/mP = 30 kNAB截面2.5 m0.5 m2 m

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 30 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB25 kN5 m4 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 25 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB50 kN25 kN5 m2 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 25 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 12 kN/mP = 25 kNABδ3 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 25 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
P = 45 kNAB3 m3 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 6 mP = 45 kN 位于 3 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 3 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 2 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 21.67 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 40 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​4 m1 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 40·4 + 50·5
RB = 410/6 = 68.33 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 68.33 = 21.67 kN

答案

RA = 21.67 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 30.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 8 kN/mP = 30 kNABRA​RB​1.5 m0.5 m2 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·1.5 + 8·2·3
RB = 93/6 = 15.5 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 15.5 = 30.5 kN

答案

RA = 30.5 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 90 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 48RB​ = 48截面5 m3 m

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 48·5 − 12·5·2.5 = 90 kN·m

答案

Mx = 90 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 67.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·3 + 12·5·2.5
RB = 240/5 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 48 = 42 kN
w = 12 kN/mP = 30 kNABRA​ = 42RB​ = 48截面2.5 m0.5 m2 m

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 42·2.5 − 12·2.5·1.25 = 67.5 kN·m

答案

Mx = 67.5 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −7.071 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 20 = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0.7071 = −7.071 kN

答案

FAB = −7.071 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −54.08 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·2 − 25·3 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 5 = 45 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −45/0.8321 = −54.08 kN

答案

FAB = −54.08 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δ = 10.83 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 25000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(3EI) = 25000·3000³/(3·3.2 × 10¹³) = 7.031 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 3.797 mm

相加

δ = 7.031 + 3.797 = 10.83 mm

答案

δ = 10.83 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 14.06 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·45/16 = 14.06 kN

答案

RB = 14.06 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 6.229 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6.229 kN

答案

Pcr = 6.229 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 17.27 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答案

σcr = 17.27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis