梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 10 mP1 = 10 kN 位于 3 mP2 = 10 kN 位于 8 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 4 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 10 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 6 m 处的集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
AC = 4 mAD = 10 mP = 80 kN 位于 6 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
25 kN @ 6 m4 kN/m, 4–12 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 10 kN 位于 1.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 25 kN ↓G: 30 kN ↓H: 35 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 5 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 15 kNw = 2 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 7 kNL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 115 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 115 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 9 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·10 = 10·3 + 10·8
RB = 110/10 = 11 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 11 = 9 kN
答案
RA = 9 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 213.3 kN·m
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
ΣMC = 0: RD·6 = 80·2
RD = 26.67 kN
VC = 80 − 26.67 = 53.33 kN
AC 段
铰力 VC 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。
RA = 53.33 = 53.33 kN
MA = 53.33·4 = 213.3 kN·m
答案
MA = 213.3 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: D (x = 6 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 23.17 kN, R2 = 33.83 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 46.33, MC = 92.67, MD = 131 kN·m, ME = 103.3, MF = 59.67, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 131 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 18 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·1.5 + 4·5·2.5
RB = 65/5 = 13 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 13 = 17 kN
在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 17·3 − 10·(3 − 1.5) − 4·3·1.5 = 18 kN·m
答案
Mx = 18 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 DH
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 D
CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 42.5 kN (T), BC: 42.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 47.5 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 60.1 kN (C), HE: 67.18 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 24.75 kN (T), HC: 17.68 kN (T)
答案
零杆: DH
6.桁架：节点法
答案: FAB = −13.74 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·1 + 5·4 → Cy = 6.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 6.667 = 13.33 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13.33/0.9701 = −13.74 kN
答案
FAB = −13.74 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: δ = 10.46 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 15000·2500³/(3·8.4 × 10¹²) = 9.301 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 1.163 mm
相加
δ = 9.301 + 1.163 = 10.46 mm
答案
δ = 10.46 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 2.209 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 7000 N, L = 4000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
一个荷载位于 L/3 处
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 1.104 mm
两个荷载相加
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 2.209 mm
答案
δmax = 2.209 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 34.33 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34.33 kN
答案
Pcr = 34.33 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 120.7 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·115000 = 287500 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 120.7 mm
答案
d = 120.7 mm
校核：长细比 KL/r 为 165.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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