结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 55 kN 位于 4 mP₂ = 25 kN 位于 7 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 20 kN 位于 3.5 mw = 6 kN/m，从 1 到 6 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 4 m15 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 6.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 6.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 30 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 20 kN →

F_AB = kN

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 50 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 h_req。

w = 1 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 50 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 40 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 40 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 40.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·4 + 25·7

R_B = 395/10 = 39.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 39.5 = 40.5 kN

答案

R_A = 40.5 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 20.83 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3.5 + 6·5·3.5

R_B = 175/6 = 29.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 29.17 = 20.83 kN

答案

R_A = 20.83 kN

3.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 63.33 kN, R₂ = 81.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 55.83, M_C = 96.67, M_D = 122.5, M_E = 133.3 kN·m, M_F = 74.17, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 133.3 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 12.94 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6.5 = 32.5 kN，作用于 x̄ = 3.25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·6.5·3.25

R_B = 105.6/5 = 21.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32.5 − 21.13 = 11.38 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11.38/5 = 2.275 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11.38²/(2·5) = 12.94 kN·m

答案

M_max = 12.94 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 28.13 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·5 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 18.75 = 11.25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18.75/0.5547 = −33.8 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33.8)·0.8321 = 28.13 kN

答案

F_AC = 28.13 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −28.99 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 + 20·3 → C_y = 17.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 17.5 = 27.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −27.5/0.9487 = −28.99 kN

答案

F_AB = −28.99 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.007177 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 4·3000³/(24·6.27 × 10¹¹) = 0.007177 rad

答案

θ_A = 0.007177 rad

即 0.4112°。

8.梁的挠度

答案: h_req = 163.7 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·9.722) = 1.827 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·1.827 × 10⁷/50)^1/3 = 163.7 mm

答案

h_req = 163.7 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 9.646 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9.646 kN

答案

P_cr = 9.646 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 27.6 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·40000 = 100000 N

KL = 0.5·1500 = 750 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 27.6 mm

答案

d = 27.6 mm

校核：长细比 KL/r 为 108.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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