结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w = 4 kN/mP = 25 kNABMA​ = ?2.5 m2 m1.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 4.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 6 mP = 25 kN 位于 4.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 2.5 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​1.5 m0.5 m1 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 20 kN 位于 1.5 mw = 2 kN/m，从 2 到 3 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
15 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.剪力和弯矩困难
5 kN/m50 kN10 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 0 m10 kN @ 12 m35 kN @ 4 m5 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB40 kN6 m1 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB45 kN5 kN5 m4 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 5 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 6 kN/mδL = 1.5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 6 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 5 kN/mδL = 1.5 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 5 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m40 × 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 115 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 115 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 115 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: MA = 125 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 4·2.5 = 10 kN, x̄ = 1.25 m

对墙的力矩

MA = P·a + W·x̄ = 25·4.5 + 10·1.25 = 125 kN·m

答案

MA = 125 kN·m
2.梁的支座反力

答案: RA = 13.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1.5 m0.5 m1 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·1.5 + 2·1·2.5
RB = 35/4 = 8.75 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 8.75 = 13.25 kN

答案

RA = 13.25 kN
3.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 72.5 kN, R2 = 72.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 65, MC = 115, MD = 150 kN·m, ME = 115, MF = 65, MG = 0

答案

标记点 D: MD = 150 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 98.33 kN, R2 = 26.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −100 kN·m, MC = −13.33, MD = −16.67, ME = −40, MF = −20, MG = 0

答案

标记点 B: MB = −100 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −10.67 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·1 → Cy = 6.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 6.667 = 33.33 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.667/0.6247 = −10.67 kN

答案

FBC = −10.67 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −24.6 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·4 − 5·2 → Cy = 34 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 34 = 11 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11/0.4472 = −24.6 kN

答案

FAB = −24.6 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 1.563 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·1500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 1.563 mm

答案

δmax = 1.563 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 7.191 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·1500⁴/(384·11000·4.167) = 7.191 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7.191 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 7.191 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 32.75 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32.75 kN

答案

Pcr = 32.75 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 65.68 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 65.68 mm

答案

d = 65.68 mm

校核：长细比 KL/r 为 170.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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