梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 8 kN/m。 距 A 为 4 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RA。
L = 8 mw0 = 8 kN/mP = 35 kN 位于 4 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并从 1.5 m 到位于 4 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RB，以向上为正。
AB = 2.5 mAC = 4 mP = 65 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 1.5 到 4 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 9.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 9.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 6.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 6.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
F: 15 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 10 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。
w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 135 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 28.17 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
三角形荷载的合力
W = ½·8·8 = 32 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 32·5.333 + 35·4
RB = 38.83 kN
RA = 67 − 38.83 = 28.17 kN
答案
RA = 28.17 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 63 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
分布荷载的合力
W = 4·2.5 = 10 kN, x̄ = (1.5 + 4)/2 = 2.75 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·2.5 = 65·2 + 10·2.75
RB = 157.5/2.5 = 63 kN
RA = 75 − 63 = 12 kN
答案
RB = 63 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mx = 9.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
在 x = 9.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20·9.5 − 4·9.5·4.75 = 9.5 kN·m
答案
Mx = 9.5 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 20.7 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6.5 = 52 kN，作用于 x̄ = 3.25 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·6.5·3.25
RB = 169/5 = 33.8 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 33.8 = 18.2 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 18.2/8 = 2.275 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 18.2²/(2·8) = 20.7 kN·m
答案
Mmax = 20.7 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 23.44 kN (T), BC: 35.62 kN (T), CD: 35.62 kN (T), DE: 32.81 kN (T), FG: 23.44 kN (C), GH: 32.81 kN (C), AF: 39.06 kN (C), HE: 54.69 kN (C), BF: 16.25 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (T), BG: 20.31 kN (C), DG: 4.688 kN (C)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FAB = 1.62 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 25·5 + 10·3 → Cy = 25.83 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 25.83 = −0.8333 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 3/5.831 = 0.5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−0.8333/0.5145 = 1.62 kN
答案
FAB = 1.62 kN (受拉)
7.梁的挠度
答案: δ = 23.01 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 23.01 mm
答案
δ = 23.01 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 220 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·20) = 1.11 × 10⁸ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.11 × 10⁸/125)1/3 = 220 mm
答案
hreq = 220 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 24.87 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2500² = 24871 N = 24.87 kN
答案
Pcr = 24.87 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 86.4 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 86.4 mm
答案
d = 86.4 mm
校核：长细比 KL/r 为 185.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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