梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 4 mP1 = 60 kN 位于 2 mP2 = 45 kN 位于 2.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 2 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。
L = 4 mP = 40 kN 位于 3 m, θ = 30°Q = 40 kN 位于 2 m
α = °
3.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 9.5 mP1 = 25 kN 位于 1 mP2 = 75 kN 位于 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求从 A 到弯矩最大截面的距离 x0。
L = 10 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 m
x0 = m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 35 kN ↓C: 35 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓H: 35 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 25 kN →
FAC = kN
7.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 19 kNa = 1.5 mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 150 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)b = 150 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 58.13 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 60·2 + 45·2.5
RB = 232.5/4 = 58.13 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 58.13 = 46.88 kN
答案
RB = 58.13 kN
2.梁的支座反力
答案: α = 35.82 °
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
P 的分量
Pv = 40·sin 30° = 20 kN
Ph = 40·cos 30° = 34.64 kN
反力
ΣMA = 0: RB·4 = 20·3 + 40·2 → RB = 35 kN
Ay = 20 + 40 − 35 = 25 kN
Ax = Ph = 34.64 kN
A 处的方向
α = atan(Ay/Ax) = atan(25/34.64) = 35.82°
答案
α = 35.82°
3.剪力和弯矩
答案: Mx = 7.813 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·8 = 25·1 + 75·9.5
RB = 737.5/8 = 92.19 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 92.19 = 7.813 kN
在 P1 处截开，保留左侧部分
Mx = RA·1 = 7.813·1 = 7.813 kN·m
答案
Mx = 7.813 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: x0 = 4.8 m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·8·4
RB = 384/10 = 38.4 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 38.4 = 57.6 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 57.6/12 = 4.8 m
答案
x0 = 4.8 m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 82.5 kN (T), BC: 82.5 kN (T), CD: 72.5 kN (T), DE: 72.5 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 116.7 kN (C), HE: 102.5 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 17.68 kN (T), HC: 31.82 kN (T)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FAC = 29 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 45·1 + 25·4 → Cy = 29 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 29 = 16 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −29/0.7071 = −41.01 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−41.01)·0.7071 = 29 kN
答案
FAC = 29 kN (受拉)
7.梁的挠度
答案: δB = 10.71 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 19000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 5.357 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.005357 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10.71 mm
答案
δB = 10.71 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 176 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 4000/300 = 13.33 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·13.33) = 6.818 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·6.818 × 10⁷/150)1/3 = 176 mm
答案
hreq = 176 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 38.86 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
计算长度
KL = 1·2000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2000² = 38862 N = 38.86 kN
答案
Pcr = 38.86 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 8.812 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/7.5 = 280
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa
答案
σcr = 8.812 MPa
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