结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P = 40 kNM = 20 kN·mABRB​ = ?1 m3.5 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 4.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 1 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。

L = 6 mP = 40 kN 位于 4.5 mM = 20 kN·m (顺时针) 位于 1 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
P = 20 kNQ = 40 kNADCRD​ = ?1.5 m0.5 m3.5 m0.5 m

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 2 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 5.5 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 1.5 m 处的集中荷载 Q。 求滚动支座处的反力 RD。

AC = 2 mAD = 6 mP = 20 kN 位于 5.5 mQ = 40 kN 位于 1.5 m
RD = kN
3.剪力和弯矩中等
20 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 5 m50 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.剪力和弯矩困难
25 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 6 m35 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB60 kN6 m4 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 60 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB60 kN15 kN5 m3 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 15 kN →
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 5 kN/mδL = 6 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 2 kN/mδL = 3 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 75 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 75 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 75 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 33.33 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·6 − 40·4.5 − 20 = 0
RB = 200/6 = 33.33 kN

竖向平衡

RA = 40 − 33.33 = 6.667 kN

答案

RB = 33.33 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: RD = 17.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣMC = 0: RD·4 = 20·3.5
RD = 17.5 kN
VC = 20 − 17.5 = 2.5 kN

答案

RD = 17.5 kN
3.剪力和弯矩

答案: C (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 36.67 kN, R2 = 33.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 36.67, MC = 73.33 kN·m, MD = 60, ME = 46.67, MF = 33.33, MG = 0

答案

标记点 C: MC = 73.33 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: F (x = 5 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 2 kN, R2 = 58 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 2, MC = 4, MD = 6, ME = 8, MF = −25 kN·m, MG = 0

答案

标记点 F: MF = −25 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −48.07 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·4 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 40 = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −40/0.8321 = −48.07 kN

答案

FBC = −48.07 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −54.08 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·3 + 15·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −45/0.8321 = −54.08 kN

答案

FBC = −54.08 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 49.63 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 49.63 mm

答案

δmax = 49.63 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 1.266 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3000⁴/(384·200000·8.333) = 1.266 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.266 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 1.266 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 9.922 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 2·2500 = 5000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9.922 kN

答案

Pcr = 9.922 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 110.4 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·75000 = 225000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 110.4 mm

答案

d = 110.4 mm

校核：长细比 KL/r 为 289.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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