梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 6 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 6 mP = 50 kN 位于 6 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 6 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 10 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 9 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 2 m 处的集中荷载 Q。 求墙处反力矩 MA 的大小。
AC = 6 mAD = 10 mP = 20 kN 位于 9 mw = 12 kN/m，从 6 到 10 mQ = 70 kN 位于 2 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
55 kN @ 10 m45 kN @ 6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 5 mw = 8 kN/m，从 2 到 4 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 15 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
F: 15 kN ↓F: 25 kN →G: 10 kN ↓H: 25 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 9 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 27 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 125 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 125 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: MA = 372 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
分布荷载的合力
W = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m
对墙的力矩
MA = P·a + W·x̄ = 50·6 + 24·3 = 372 kN·m
答案
MA = 372 kN·m
2.梁的支座反力
答案: MA = 314 kN·m
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
W = 12·4 = 48 kN 位于 2 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·4 = 20·3 + 48·2
RD = 39 kN
VC = 68 − 39 = 29 kN
AC 段
铰力 VC 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。
RA = 70 + 29 = 99 kN
MA = 70·2 + 29·6 = 314 kN·m
答案
MA = 314 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: D (x = 6 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 31.67 kN, R2 = 68.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 63.33, MC = 126.7, MD = 190 kN·m, ME = 163.3, MF = 136.7, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 190 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 15.36 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·2·3
RB = 48/5 = 9.6 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 9.6 = 6.4 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 6.4/8 = 2.8 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 6.4·2.8 − 8·0.8²/2 = 15.36 kN·m
答案
Mmax = 15.36 kN·m
5.桁架：节点法
答案: FAC = 4.375 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 15·7 → Cy = 13.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 13.13 = 1.875 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13.13/0.9487 = −13.83 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13.83)·0.3162 = 4.375 kN
答案
FAC = 4.375 kN (受拉)
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 48.75 kN (T), BC: 52.5 kN (T), CD: 52.5 kN (T), DE: 42.92 kN (T), FG: 48.75 kN (C), GH: 42.92 kN (C), AF: 29.69 kN (C), HE: 53.65 kN (C), BF: 2.813 kN (T), CG: 0, DH: 7.188 kN (T), BG: 4.688 kN (C), DG: 11.98 kN (C)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δB = 5.682 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 9000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 2.273 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.003409 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 5.682 mm
答案
δB = 5.682 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 8.086 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 27000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 27000·3000³/(48·2.4 × 10¹²) = 6.328 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 1.758 mm
相加
δmax = 6.328 + 1.758 = 8.086 mm
答案
δmax = 8.086 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 141.5 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1250² = 141491 N = 141.5 kN
答案
Pcr = 141.5 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 76.82 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 76.82 mm
答案
d = 76.82 mm
校核：长细比 KL/r 为 156.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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