结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w = 2 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?4.5 m1.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 4.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 6 m 处承受集中荷载 P。 求墙处的竖向反力 RA。

L = 6 mP = 25 kN 位于 6 mw = 2 kN/m，从 0 到 4.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 50 kN, 40°Q = 25 kNABα = ?2 m1 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 2 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 4 mP = 50 kN 位于 3 m, θ = 40°Q = 25 kN 位于 2 m
α = °
3.剪力和弯矩中等
P1​ = 50 kNP2​ = 40 kNABC1 m7 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP1 = 50 kN 位于 1 mP2 = 40 kN 位于 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
4 kN/m45 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 6 m35 kN @ 3 m4 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB45 kN6 m4 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 45 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB60 kN25 kN4 m3 m4 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 25 kN ←
FAC = kN
7.梁的挠度中等
w = 6 kN/mδL = 6 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 10 kN/mδL = 3 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m25 × 60 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 1 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 34 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 2·4.5 = 9 kN, x̄ = 2.25 m

竖向平衡

RA = P + W = 25 + 9 = 34 kN

答案

RA = 34 kN
2.梁的支座反力

答案: α = 28.2 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

Pv = 50·sin 40° = 32.14 kN
Ph = 50·cos 40° = 38.3 kN

反力

ΣMA = 0: RB·4 = 32.14·3 + 25·2 → RB = 36.6 kN
Ay = 32.14 + 25 − 36.6 = 20.53 kN
Ax = Ph = 38.3 kN

A 处的方向

α = atan(Ay/Ax) = atan(20.53/38.3) = 28.2°

答案

α = 28.2°
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 33.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·8 = 50·1 + 40·10
RB = 450/8 = 56.25 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 56.25 = 33.75 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·1 = 33.75·1 = 33.75 kN·m

答案

Mx = 33.75 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: F (x = 5 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 15 kN, R2 = 85 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 13, MC = 22, MD = 27, ME = −7, MF = −45 kN·m, MG = 0

答案

标记点 F: MF = −45 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·4 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 30 = 15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0.6 = −25 kN

答案

FAB = −25 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 − 25·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 20 = 40 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20/0.9701 = −20.62 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−20.62)·0.2425 = 5 kN

答案

FAC = 5 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δmax = 59.56 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 59.56 mm

答案

δmax = 59.56 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 6.328 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·3000⁴/(384·200000·8.333) = 6.328 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6.328 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 6.328 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 5.997 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/3000² = 5997 N = 5.997 kN

答案

Pcr = 5.997 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 38.86 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

答案

σcr = 38.86 MPa

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