梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RA，以向上为正。
AB = 6 mAC = 8 mP1 = 10 kN 位于 1 mP2 = 80 kN 位于 8 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 6 m 处承受集中荷载 P，并从 4 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RB，以向上为正。
AB = 8 mAC = 10 mP = 50 kN 位于 6 mw = 10 kN/m，从 4 到 10 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP1 = 15 kN 位于 5 mP2 = 15 kN 位于 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
MB = kN·m
4.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 xc。
L = 6 mw = 2 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
xc = m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 35 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 15 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 150 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。
w = 3 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 150 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = −18.33 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·6 = 10·1 + 80·8
RB = 650/6 = 108.3 kN
竖向平衡
RA = 10 + 80 − 108.3 = −18.33 kN
答案
RA = −18.33 kN
RA 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。
2.梁的支座反力
答案: RB = 90 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
分布荷载的合力
W = 10·6 = 60 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 50·6 + 60·7
RB = 720/8 = 90 kN
RA = 110 − 90 = 20 kN
答案
RB = 90 kN
3.剪力和弯矩
答案: MB = −30 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·8 = 15·5 + 15·10
RB = 225/8 = 28.13 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 28.13 = 1.875 kN
在 B 处截开，保留外伸段
外伸段上只作用 P2，力臂为 a。它使梁在支座上方向上弯曲（负弯矩）。
MB = −P2·a = −15·2 = −30 kN·m
答案
MB = −30 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: xc = 3 m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·6·3
RB = 36/4 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 9 = 3 kN
弯矩为零
两支座之间 M(x) = RA·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2RA/w 处为零。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·3/2 = 3 m
答案
xc = 3 m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 43.75 kN (T), BC: 43.75 kN (T), CD: 41.25 kN (T), DE: 41.25 kN (T), FG: 42.5 kN (C), GH: 42.5 kN (C), AF: 61.87 kN (C), HE: 58.34 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 1.768 kN (C), HC: 1.768 kN (T)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FAB = −15.37 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 20·1 + 15·2 → Cy = 6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 6.25 = 13.75 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13.75/0.8944 = −15.37 kN
答案
FAB = −15.37 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: δmax = 31.9 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 31.9 mm
答案
δmax = 31.9 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 163.7 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·9.722) = 5.481 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·5.481 × 10⁷/150)1/3 = 163.7 mm
答案
hreq = 163.7 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 168.4 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2500² = 168441 N = 168.4 kN
答案
Pcr = 168.4 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 137.1 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/12.5 = 120
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137.1 MPa
答案
σcr = 137.1 MPa
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