结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 15 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m2.5 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 5 mP1 = 15 kN 位于 1 mP2 = 25 kN 位于 3.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 12 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?RB​3 m3 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 8 mP = 45 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 3 到 6 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
P1​ = 75 kNP2​ = 75 kNAB1 m2 m1 m

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 4 mP1 = 75 kN 位于 1 mP2 = 75 kN 位于 3 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
8 kN/m50 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 0 m60 kN @ 6 m8 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB45 kN6 m1 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 45 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB25 kN10 kN8 m1 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 10 kN →
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 4 kN/mδL = 5 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 8 kN/mP = 7 kNδL = 6 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 7 kNw = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 4 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 4 md = 50 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 20.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 15 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​1 m2.5 m1.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 25·3.5
RB = 102.5/5 = 20.5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20.5 = 19.5 kN

答案

RB = 20.5 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 43.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 12 kN/mP = 45 kNABRA​RB​3 m3 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN，作用于 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·3 + 12·3·4.5
RB = 297/8 = 37.13 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 37.13 = 43.88 kN

答案

RA = 43.88 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mmax = 75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣMA = 0: RB·4 = 75·1 + 75·3
RB = 300/4 = 75 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 75 = 75 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P1: M = RA·1 = 75·1 = 75 kN·m
荷载点 P2: M = RB·1 = 75·1 = 75 kN·m

最大值

Mmax = 75 kN·m (荷载点 P1)

答案

Mmax = 75 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: F (x = 5 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 63.5 kN, R2 = 78.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −50, MC = −40.5, MD = −39, ME = −45.5, MF = −60 kN·m, MG = 0

答案

标记点 F: MF = −60 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −14.58 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·1 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 7.5 = 37.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.5145 = −14.58 kN

答案

FBC = −14.58 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −17.45 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·1 + 10·3 → Cy = 6.875 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6.875 = 18.13 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/7.616 = 0.3939, cos γ = 7/7.616 = 0.9191
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.875/0.3939 = −17.45 kN

答案

FBC = −17.45 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δ = 13.02 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 4·5000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 13.02 mm

答案

δ = 13.02 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 69.38 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 7000 N, w = 8 N/mm, L = 6000 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 7000·6000³/(48·2.4 × 10¹²) = 13.13 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 56.25 mm

相加

δmax = 13.13 + 56.25 = 69.38 mm

答案

δmax = 69.38 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 3.312 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3.312 kN

答案

Pcr = 3.312 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 26.99 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12.5 = 160

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa

答案

σcr = 26.99 MPa

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