结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w = 5 kN/mP = 15 kNABMA​ = ?2.5 m3.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 2.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 6 mP = 15 kN 位于 2.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 2.5 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
w = 5 kN/mP = 35 kNABRA​ = ?RB​2 m3 m1 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 8 mP = 35 kN 位于 6 mw = 5 kN/m，从 2 到 5 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
5 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 2 m5 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.剪力和弯矩困难
12 kN/m10 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 0 m55 kN @ 12 m12 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB10 kN8 m7 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 10 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB40 kN30 kN5 m2 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 30 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 5 kN/mδL = 3 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 12 kN/mδL = 8 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m20 × 100 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 5 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: MA = 53.13 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 5·2.5 = 12.5 kN, x̄ = 1.25 m

对墙的力矩

MA = P·a + W·x̄ = 15·2.5 + 12.5·1.25 = 53.13 kN·m

答案

MA = 53.13 kN·m
2.梁的支座反力

答案: RA = 17.19 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 5 kN/mP = 35 kNABRA​RB​2 m3 m1 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·6 + 5·3·3.5
RB = 262.5/8 = 32.81 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 32.81 = 17.19 kN

答案

RA = 17.19 kN
3.剪力和弯矩

答案: C (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 55 kN, R2 = 35 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 52.5, MC = 100 kN·m, MD = 82.5, ME = 60, MF = 32.5, MG = 0

答案

标记点 C: MC = 100 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 46.75 kN, R2 = 114.3 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −20, MC = 29.5, MD = 31, ME = −15.5, MF = −110 kN·m, MG = 0

答案

标记点 F: MF = −110 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 2.917 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·7 → Cy = 8.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8.75 = 1.25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.75/0.9487 = −9.223 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−9.223)·0.3162 = 2.917 kN

答案

FAC = 2.917 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −7.211 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·2 + 30·3 → Cy = 34 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 34 = 6 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6/0.8321 = −7.211 kN

答案

FAB = −7.211 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δ = 11.01 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·4.6 × 10¹²) = 11.01 mm

答案

δ = 11.01 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·8000⁴/(384·200000·22.22) = 1.44 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 10.44 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2100² = 10444 N = 10.44 kN

答案

Pcr = 10.44 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 6.294 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/6.25 = 560

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6.294 MPa

答案

σcr = 6.294 MPa

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