结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 30 kN 位于 1 mP₂ = 55 kN 位于 3 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 8 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 6 mw₀ = 8 kN/mP = 35 kN 位于 2 m

M_A = kN·m

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 7.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 7.5 m

V_x = kN

4.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mw = 24 kN/m，从 1 到 4 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 55 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 5 kN →

F_BC = kN

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 23 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 h_req。

w = 4 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 36.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 55·3

R_B = 195/4 = 48.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 48.75 = 36.25 kN

答案

R_A = 36.25 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 118 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·8·6 = 24 kN

x̄ = L/3 = 2 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 24·2 + 35·2 = 118 kN·m

答案

M_A = 118 kN·m

3.剪力和弯矩

答案: V_x = −42 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

在 x = 7.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 48 − 12·7.5 = −42 kN

答案

V_x = −42 kN

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 42.19 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·3·2.5

R_B = 180/4 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 45 = 27 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 27/24 = 2.125 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 27·2.125 − 24·1.125²/2 = 42.19 kN·m

答案

M_max = 42.19 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −27.5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·3 → C_y = 33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 33 = 22 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22/0.8 = −27.5 kN

答案

F_AB = −27.5 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −16.49 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·4 + 5·4 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 16 = −1 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16/0.9701 = −16.49 kN

答案

F_BC = −16.49 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ = 21.39 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 23000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(3EI) = 23000·2000³/(3·3.99 × 10¹²) = 15.37 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 6.015 mm

相加

δ = 15.37 + 6.015 = 21.39 mm

答案

δ = 21.39 mm

8.梁的挠度

答案: h_req = 234.8 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·18) = 1.079 × 10⁸ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·1.079 × 10⁸/100)^1/3 = 234.8 mm

答案

h_req = 234.8 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 29.61 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29.61 kN

答案

P_cr = 29.61 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 12.34 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7.5 = 400

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

答案

σ_cr = 12.34 MPa

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