结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w0​ = 6 kN/mP = 10 kNABRB​ = ?2 m3 m

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 6 kN/m。 距 A 为 2 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RB。

L = 5 mw0 = 6 kN/mP = 10 kN 位于 2 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w0​ = 4 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?2 m3 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 4 kN/m；另在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 5 mw0 = 4 kN/mP = 30 kN 位于 2 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
w = 6 kN/mAB截面2 m4 m

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 mx = 2 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
5 kN/m50 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 6 m15 kN @ 1 m5 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB45 kN5 m1 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 45 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB60 kN15 kN4 m3 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 15 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 15 kN/mδL = 3 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 5 kN/mδL = 3 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 m25 × 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 3 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 14 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·6·5 = 15 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·5 = 15·3.333 + 10·2
RB = 14 kN
RA = 25 − 14 = 11 kN

答案

RB = 14 kN
2.梁的支座反力

答案: MA = 93.33 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·4·5 = 10 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 10·3.333 + 30·2 = 93.33 kN·m

答案

MA = 93.33 kN·m
3.剪力和弯矩

答案: Vx = 6 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·6·3
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 18RB​ = 18截面2 m4 m

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 18 − 6·2 = 6 kN

答案

Vx = 6 kN
4.剪力和弯矩

答案: F (x = 5 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 14.5 kN, R2 = 75.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 12, MC = 4, MD = −9, ME = −27, MF = −50 kN·m, MG = 0

答案

标记点 F: MF = −50 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −37.95 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·1 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 9 = 36 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −36/0.9487 = −37.95 kN

答案

FAB = −37.95 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −37.5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 − 15·4 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 30 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0.8 = −37.5 kN

答案

FAB = −37.5 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δ = 33.02 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·4.6 × 10¹²) = 33.02 mm

答案

δ = 33.02 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 57.53 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·3000⁴/(384·11000·8.333) = 5.753 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 57.53 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 57.53 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 4.112 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

计算长度

KL = 2·2500 = 5000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/5000² = 4112 N = 4.112 kN

答案

Pcr = 4.112 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 7.676 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7.676 MPa

答案

σcr = 7.676 MPa

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