梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 10 kN/m。 距 A 为 3.5 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RA。
L = 4 mw0 = 10 kN/mP = 25 kN 位于 3.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 10 mP = 30 kN 位于 9 mw = 2 kN/m，从 2 到 8 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P。 求在距固定端 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 2.5 mP = 25 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 0 到 2.5 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mP = 40 kN 位于 5 mw = 3 kN/m，从 0 到 8 mx = 5.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
G: 35 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 35 kN ↓F: 15 kN →G: 40 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 4.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 5 kNa = 4.5 mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 8 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 125 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 125 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 9.792 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
三角形荷载的合力
W = ½·10·4 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2.667 + 25·3.5
RB = 35.21 kN
RA = 45 − 35.21 = 9.792 kN
答案
RA = 9.792 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 33 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·9 + 2·6·5
RB = 330/10 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 42 − 33 = 9 kN
答案
RB = 33 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mx = −57.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −25·1.5 = −37.5 kN·m
w: −10·2²/2 = −20 kN·m
Mx = −37.5 − 20 = −57.5 kN·m
答案
Mx = −57.5 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 83.13 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·5 + 3·8·4
RB = 296/8 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 37 = 27 kN
在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 27·5.5 − 40·(5.5 − 5) − 3·5.5·2.75 = 83.13 kN·m
答案
Mx = 83.13 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 17.5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 17.5 kN (T), FG: 17.5 kN (C), GH: 17.5 kN (C), AF: 24.75 kN (C), HE: 24.75 kN (C), BF: 17.5 kN (T), CG: 0, DH: 17.5 kN (T), BG: 24.75 kN (C), DG: 24.75 kN (C)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 57.5 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 32.5 kN (T), FG: 57.5 kN (C), GH: 32.5 kN (C), AF: 60.1 kN (C), HE: 45.96 kN (C), BF: 42.5 kN (T), CG: 0, DH: 32.5 kN (T), BG: 10.61 kN (C), DG: 45.96 kN (C)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δP = 13.7 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 5000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·4500²·1500²/(3·9.24 × 10¹¹·6000) = 13.7 mm
答案
δP = 13.7 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 9.079 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 8000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 8000·6000³/(48·1.14 × 10¹³) = 3.158 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 5.921 mm
相加
δmax = 3.158 + 5.921 = 9.079 mm
答案
δmax = 9.079 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 15.99 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
计算长度
KL = 1·1500 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1500² = 15992 N = 15.99 kN
答案
Pcr = 15.99 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 74.98 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 74.98 mm
答案
d = 74.98 mm
校核：长细比 KL/r 为 186.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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