结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 75 kNP2​ = 25 kNABCRB​ = ?1 m4 m3 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。

AB = 5 mAC = 8 mP1 = 75 kN 位于 1 mP2 = 25 kN 位于 8 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 6 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m4 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 5 mP = 30 kN 位于 1 mw = 6 kN/m，从 1 到 5 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
8 kN/m35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 8 m8 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
w = 10 kN/mP = 20 kNAB6 m2 m

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 8 mP = 20 kN 位于 6 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB40 kN4 m3 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 40 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB55 kN15 kN6 m4 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 15 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
P = 21 kNABδ0.5 m1.5 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 0.5 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。

P = 21 kNa = 0.5 mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.梁的挠度困难
w = 10 kN/mδL = 1.5 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 10 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m20 × 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 1.5 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 55 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·5 = 75·1 + 25·8
RB = 275/5 = 55 kN

竖向平衡

RA = 75 + 25 − 55 = 45 kN

答案

RB = 55 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 20.4 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 6 kN/mP = 30 kNABRA​RB​1 m4 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1 + 6·4·3
RB = 102/5 = 20.4 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 20.4 = 33.6 kN

答案

RB = 20.4 kN
3.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 33 kN, R2 = 66 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 66, MC = 132, MD = 182, ME = 200 kN·m, MF = 116, MG = 0

答案

标记点 E: ME = 200 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 101.3 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·6 + 10·8·4
RB = 440/8 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 55 = 45 kN

V = 0 在哪里？

RA − w·x0 = 0 → x0 = 45/10 = 4.5 m

最大弯矩

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 45·4.5 − 10·4.5²/2 = 101.3 kN·m

答案

Mmax = 101.3 kN·m

它出现在距 A 为 x = 4.5 m 处。

5.桁架：节点法

答案: FBC = −33.54 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0.8944 = −33.54 kN

答案

FBC = −33.54 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −29.81 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·4 + 15·2 → Cy = 41.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 41.67 = 13.33 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13.33/0.4472 = −29.81 kN

答案

FAB = −29.81 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δB = 5.208 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 21000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δP = Pa³/(3EI) = 0.947 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.002841 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 5.208 mm

答案

δB = 5.208 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 2.26 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·1500⁴/(384·70000·4.167) = 2.26 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2.26 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 2.26 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 5.849 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/3000² = 5849 N = 5.849 kN

答案

Pcr = 5.849 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 87.73 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

回转半径和长细比

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·1500 = 750 mm
KL/r = 750/5 = 150

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87.73 MPa

答案

σcr = 87.73 MPa

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