结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 15 kNP2​ = 40 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 8 mP1 = 15 kN 位于 2 mP2 = 40 kN 位于 3 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 10 kN/mP = 35 kNABRA​ = ?RB​1 m2 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 35 kN 位于 3 mw = 10 kN/m，从 1 到 3 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
P1​ = 70 kNP2​ = 25 kNAB3 m1 m4 m

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 8 mP1 = 70 kN 位于 3 mP2 = 25 kN 位于 4 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 16 kN/mAB2 m4 m

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求从 A 到弯矩最大截面的距离 x0。

L = 6 mw = 16 kN/m，从 0 到 2 m
x0 = m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB40 kN4 m1 m4 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB25 kN25 kN6 m5 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 25 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 12 kN/mδL = 3 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 6 kN/mP = 6 kNδL = 3 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 6 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 1 m20 × 60 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 3 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 36.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 15 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​2 m1 m5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 15·2 + 40·3
RB = 150/8 = 18.75 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 18.75 = 36.25 kN

答案

RA = 36.25 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 18.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 10 kN/mP = 35 kNABRA​RB​1 m2 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·3 + 10·2·2
RB = 145/4 = 36.25 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 36.25 = 18.75 kN

答案

RA = 18.75 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mmax = 168.8 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 70·3 + 25·4
RB = 310/8 = 38.75 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 38.75 = 56.25 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P1: M = RA·3 = 56.25·3 = 168.8 kN·m
荷载点 P2: M = RB·4 = 38.75·4 = 155 kN·m

最大值

Mmax = 168.8 kN·m (荷载点 P1)

答案

Mmax = 168.8 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: x0 = 1.667 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN，作用于 x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·6 = 16·2·1
RB = 32/6 = 5.333 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 5.333 = 26.67 kN

剪力为零

剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 26.67/16 = 1.667 m

答案

x0 = 1.667 m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 7.5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 10 = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0.8 = −12.5 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−12.5)·0.6 = 7.5 kN

答案

FAC = 7.5 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −4.295 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·5 − 25·4 → Cy = 4.167 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 4.167 = 20.83 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4.167/0.9701 = −4.295 kN

答案

FBC = −4.295 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 1.11 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 1.11 mm

答案

δmax = 1.11 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 11.55 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 6000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 6000·3000³/(48·8.4 × 10¹¹) = 4.018 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 7.533 mm

相加

δmax = 4.018 + 7.533 = 11.55 mm

答案

δmax = 11.55 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 56.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·1000 = 700 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/700² = 56398 N = 56.4 kN

答案

Pcr = 56.4 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 21.93 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

回转半径和长细比

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/5 = 300

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

答案

σcr = 21.93 MPa

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