结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w0​ = 20 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?3.5 m2.5 m

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 20 kN/m 减小到 B 处的零。 距 A 为 3.5 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RA。

L = 6 mw0 = 20 kN/mP = 45 kN 位于 3.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 70 kNADCRD​ = ?5 m2 m3 m

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 10 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 7 m 处的集中荷载 P。 求滚动支座处的反力 RD。

AC = 5 mAD = 10 mP = 70 kN 位于 7 m
RD = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 12 kN/mAB截面1.5 m4.5 m

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 24 kN/mAB1 m5 m

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 6 mw = 24 kN/m，从 1 到 6 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABCDEFGH40 kN25 kN10 kN4 × 4 m4 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 40 kN ↓F: 25 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 BG
  13. 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
ABCDEFGH15 kN15 kN20 kN35 kN10 kN4 × 3 m4 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓C: 15 kN ↓F: 20 kN ↓F: 35 kN →G: 10 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
P = 18 kNABδ1 m1.5 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。

P = 18 kNa = 1 mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.梁的挠度困难
w = 4 kN/mP = 22 kNδL = 3 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 22 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 6 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 20 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 20 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 58.75 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 45·3.5
RB = 46.25 kN
RA = 105 − 46.25 = 58.75 kN

答案

RA = 58.75 kN
2.梁的支座反力

答案: RD = 28 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣMC = 0: RD·5 = 70·2
RD = 28 kN
VC = 70 − 28 = 42 kN

答案

RD = 28 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 40.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 36RB​ = 36截面1.5 m4.5 m

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 36·1.5 − 12·1.5·0.75 = 40.5 kN·m

答案

Mx = 40.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 102.1 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·5 = 120 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 24·5·3.5
RB = 420/6 = 70 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 70 = 50 kN

剪力为零

剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 50/24 = 3.083 m

最大弯矩

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 50·3.083 − 24·2.083²/2 = 102.1 kN·m

答案

Mmax = 102.1 kN·m
5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 31.25 kN (T), BC: 37.5 kN (T), CD: 37.5 kN (T), DE: 43.75 kN (T), FG: 31.25 kN (C), GH: 43.75 kN (C), AF: 44.19 kN (C), HE: 61.87 kN (C), BF: 6.25 kN (T), CG: 0, DH: 33.75 kN (T), BG: 8.839 kN (C), DG: 8.839 kN (T)

答案

零杆: CG
6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 55.31 kN (T), BC: 55.31 kN (T), CD: 24.69 kN (T), DE: 24.69 kN (T), FG: 49.38 kN (C), GH: 49.38 kN (C), AF: 33.85 kN (C), HE: 41.15 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 9.896 kN (C), HC: 41.15 kN (T)

答案

零杆: DH
7.梁的挠度

答案: δB = 2.708 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 18000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δP = Pa³/(3EI) = 0.8333 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.00125 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.708 mm

答案

δB = 2.708 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 17.96 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 22000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 22000·3000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 13.39 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 4.566 mm

相加

δmax = 13.39 + 4.566 = 17.96 mm

答案

δmax = 17.96 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 2.412 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 1·6000 = 6000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2.412 kN

答案

Pcr = 2.412 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 53.6 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 53.6 mm

答案

d = 53.6 mm

校核：长细比 KL/r 为 298.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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