结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w0​ = 4 kN/mP = 35 kNABRB​ = ?3.5 m0.5 m

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 4 kN/m。 距 A 为 3.5 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RB。

L = 4 mw0 = 4 kN/mP = 35 kN 位于 3.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
P = 45 kN, 45°Q = 75 kNABα = ?1.5 m2 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 45°；距 A 为 1.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 5 mP = 45 kN 位于 3.5 m, θ = 45°Q = 75 kN 位于 1.5 m
α = °
3.剪力和弯矩中等
P1​ = 20 kNP2​ = 80 kNAB2 m7 m1 m

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 10 mP1 = 20 kN 位于 2 mP2 = 80 kN 位于 9 m
Mmax = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 12 kN/mP = 50 kNAB截面1 m3 m

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 50 kN 位于 1 mw = 12 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB45 kN8 m7 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 45 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB50 kN5 kN6 m4 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 5 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 15 kN/mδL = 4 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
P = 35 kNAB2 m2 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 4 mP = 35 kN 位于 2 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 6 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 135 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 135 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 35.96 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·4·4 = 8 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·4 = 8·2.667 + 35·3.5
RB = 35.96 kN
RA = 43 − 35.96 = 7.042 kN

答案

RB = 35.96 kN
2.梁的支座反力

答案: α = 62.85 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

Pv = 45·sin 45° = 31.82 kN
Ph = 45·cos 45° = 31.82 kN

反力

ΣMA = 0: RB·5 = 31.82·3.5 + 75·1.5 → RB = 44.77 kN
Ay = 31.82 + 75 − 44.77 = 62.05 kN
Ax = Ph = 31.82 kN

A 处的方向

α = atan(Ay/Ax) = atan(62.05/31.82) = 62.85°

答案

α = 62.85°
3.剪力和弯矩

答案: Mmax = 76 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣMA = 0: RB·10 = 20·2 + 80·9
RB = 760/10 = 76 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 76 = 24 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P1: M = RA·2 = 24·2 = 48 kN·m
荷载点 P2: M = RB·1 = 76·1 = 76 kN·m

最大值

Mmax = 76 kN·m (荷载点 P2)

答案

Mmax = 76 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 55.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1 + 12·4·2
RB = 146/4 = 36.5 kN
ΣFy = 0: RA = 98 − 36.5 = 61.5 kN
w = 12 kN/mP = 50 kNABRA​ = 61.5RB​ = 36.5截面1 m3 m

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 61.5·1 − 12·1·0.5 = 55.5 kN·m

答案

Mx = 55.5 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −14.28 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·7 → Cy = 39.38 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 39.38 = 5.625 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/7.616 = 0.3939
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5.625/0.3939 = −14.28 kN

答案

FAB = −14.28 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −28.28 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·4 − 5·4 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0.7071 = −28.28 kN

答案

FAB = −28.28 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 28.41 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 28.41 mm

答案

δmax = 28.41 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 10.94 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·35/16 = 10.94 kN

答案

RB = 10.94 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 3.052 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3.052 kN

答案

Pcr = 3.052 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 61.1 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 61.1 mm

答案

d = 61.1 mm

校核：长细比 KL/r 为 130.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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