梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 12 kN/m。 距 A 为 4 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RA。
L = 8 mw0 = 12 kN/mP = 10 kN 位于 4 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 2 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 4.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处总反力 RA 的大小。
L = 6 mP = 15 kN 位于 2 m, θ = 30°Q = 40 kN 位于 4.5 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
60 kN @ 4 m4 kN/m, 4–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 60 kN 位于 1.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 15 kN ↓C: 10 kN ↓D: 25 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 25 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 6 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 8 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 85 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 85 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 21 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
三角形荷载的合力
W = ½·12·8 = 48 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 48·5.333 + 10·4
RB = 37 kN
RA = 58 − 37 = 21 kN
答案
RA = 21 kN
2.梁的支座反力
答案: RA = 19.84 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
P 的分量
Pv = 15·sin 30° = 7.5 kN
Ph = 15·cos 30° = 12.99 kN
反力
ΣMA = 0: RB·6 = 7.5·2 + 40·4.5 → RB = 32.5 kN
Ay = 7.5 + 40 − 32.5 = 15 kN
Ax = Ph = 12.99 kN
A 处的合力
RA = √(12.99² + 15²) = 19.84 kN
答案
RA = 19.84 kN
3.剪力和弯矩
答案: C (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 48 kN, R2 = 28 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 96, MC = 192 kN·m, MD = 160, ME = 112, MF = 56, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 192 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 61 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1.5 + 8·4·2
RB = 154/4 = 38.5 kN
ΣFy = 0: RA = 92 − 38.5 = 53.5 kN
在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 53.5·2 − 60·(2 − 1.5) − 8·2·1 = 61 kN·m
答案
Mx = 61 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 16.88 kN (T), BC: 16.88 kN (T), CD: 20.63 kN (T), DE: 20.63 kN (T), FG: 22.5 kN (C), GH: 22.5 kN (C), AF: 28.13 kN (C), HE: 34.38 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 9.375 kN (T), HC: 3.125 kN (T)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FBC = −49.5 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·6 − 25·2 → Cy = 35 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 35 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −35/0.7071 = −49.5 kN
答案
FBC = −49.5 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: δ = 19.17 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 6000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 6000·2000³/(3·2.4 × 10¹²) = 6.667 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 12.5 mm
相加
δ = 6.667 + 12.5 = 19.17 mm
答案
δ = 19.17 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 68.39 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 8000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 8000·6000³/(48·1.76 × 10¹²) = 20.45 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 47.94 mm
相加
δmax = 20.45 + 47.94 = 68.39 mm
答案
δmax = 68.39 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 27.47 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27.47 kN
答案
Pcr = 27.47 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 86.66 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 86.66 mm
答案
d = 86.66 mm
校核：长细比 KL/r 为 138.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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