梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 4 mP1 = 60 kN 位于 1.5 mP2 = 10 kN 位于 2 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 4.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 3 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。
L = 5 mP = 75 kN 位于 4.5 m, θ = 40°Q = 55 kN 位于 3 m
α = °
3.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 10 mw = 8 kN/m，从 5 到 8 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 30 kN ↓C: 35 kN ↓F: 40 kN ↓G: 35 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 35 kN ↓D: 30 kN ↓F: 10 kN →G: 30 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 8 kNL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 42.5 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1.5 + 10·2
RB = 110/4 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 27.5 = 42.5 kN
答案
RA = 42.5 kN
2.梁的支座反力
答案: α = 25.02 °
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
P 的分量
Pv = 75·sin 40° = 48.21 kN
Ph = 75·cos 40° = 57.45 kN
反力
ΣMA = 0: RB·5 = 48.21·4.5 + 55·3 → RB = 76.39 kN
Ay = 48.21 + 55 − 76.39 = 26.82 kN
Ax = Ph = 57.45 kN
A 处的方向
α = atan(Ay/Ax) = atan(26.82/57.45) = 25.02°
答案
α = 25.02°
3.剪力和弯矩
答案: Mx = 48 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 36·4 − 12·4·2 = 48 kN·m
答案
Mx = 48 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 46.41 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN，作用于 x̄ = 6.5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·3·6.5
RB = 156/10 = 15.6 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 15.6 = 8.4 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 5) = 0
x0 = 5 + 8.4/8 = 6.05 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 5)²/2 = 8.4·6.05 − 8·1.05²/2 = 46.41 kN·m
答案
Mmax = 46.41 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 DH
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 D
CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 65.63 kN (T), BC: 65.63 kN (T), CD: 39.37 kN (T), DE: 39.37 kN (T), FG: 78.75 kN (C), GH: 78.75 kN (C), AF: 109.4 kN (C), HE: 65.62 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 21.88 kN (T), HC: 65.63 kN (T)
答案
零杆: DH
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 72.5 kN (T), BC: 88.33 kN (T), CD: 88.33 kN (T), DE: 64.17 kN (T), FG: 72.5 kN (C), GH: 64.17 kN (C), AF: 78.13 kN (C), HE: 80.21 kN (C), BF: 46.88 kN (T), CG: 0, DH: 48.13 kN (T), BG: 19.79 kN (C), DG: 30.21 kN (C)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δmax = 6.278 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 6.278 mm
答案
δmax = 6.278 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 5.476 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 8000 N, L = 6000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
一个荷载位于 L/3 处
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 2.738 mm
两个荷载相加
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 5.476 mm
答案
δmax = 5.476 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 506.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506.2 kN
答案
Pcr = 506.2 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 11.05 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
回转半径和长细比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/5 = 250
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa
答案
σcr = 11.05 MPa
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