结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w = 6 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?2.5 m1 m0.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 3.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处的竖向反力 RA。

L = 4 mP = 10 kN 位于 3.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 2.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2.5 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 6 mP = 45 kN 位于 4.5 mw = 6 kN/m，从 1 到 2 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
55 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 4 m50 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.剪力和弯矩困难
15 kN20 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 0 m20 kN @ 12 m30 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB35 kN8 m1 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB45 kN25 kN8 m7 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 25 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 12 kN/mABθ5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.梁的挠度困难
w = 10 kN/mδL = 6 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 10 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 4 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 115 kNL = 2 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 115 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 115 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 25 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 6·2.5 = 15 kN, x̄ = 1.25 m

竖向平衡

RA = P + W = 10 + 15 = 25 kN

答案

RA = 25 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 15.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​RB​1 m1 m2.5 m1.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·4.5 + 6·1·1.5
RB = 211.5/6 = 35.25 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 35.25 = 15.75 kN

答案

RA = 15.75 kN
3.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 60 kN, R2 = 45 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 60, MC = 70, MD = 80, ME = 90 kN·m, MF = 45, MG = 0

答案

标记点 E: ME = 90 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 36.25 kN, R2 = 28.75 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −30, MC = 12.5, MD = −5, ME = −22.5, MF = −40 kN·m, MG = 0

答案

标记点 F: MF = −40 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −31.57 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·1 → Cy = 4.375 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 4.375 = 30.63 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30.63/0.9701 = −31.57 kN

答案

FAB = −31.57 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −38.08 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·7 − 25·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 30 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/7.616 = 0.3939
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0.3939 = −38.08 kN

答案

FAB = −38.08 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: θA = 0.01063 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

端部转角

θA = wL³/(24EI) = 12·5000³/(24·5.88 × 10¹²) = 0.01063 rad

答案

θA = 0.01063 rad

即 0.609°。

8.梁的挠度

答案: Ireq = 920.5 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·6000⁴/(384·11000·16.67) = 9.205 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 920.5 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 920.5 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 11.07 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2800² = 11074 N = 11.07 kN

答案

Pcr = 11.07 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 58.69 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·115000 = 287500 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58.69 mm

答案

d = 58.69 mm

校核：长细比 KL/r 为 136.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis