结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 4.5 mAC = 6 mP₁ = 50 kN 位于 4 mP₂ = 70 kN 位于 6 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP = 20 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 4 到 8 m

R_B = kN

3.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 4 m45 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 40 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 20 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 25 kN →

F_BC = kN

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 h_req。

w = 2 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 137.8 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 50·4 + 70·6

R_B = 620/4.5 = 137.8 kN

竖向平衡

R_A = 50 + 70 − 137.8 = −17.78 kN

答案

R_B = 137.8 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: R_B = 26 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·1 + 10·4·6

R_B = 260/10 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 26 = 34 kN

答案

R_B = 26 kN

3.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 22.5 kN, R₂ = 67.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 22.5, M_C = 45, M_D = 67.5, M_E = 90 kN·m, M_F = 67.5, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 90 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 38.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 2·8·4

R_B = 104/8 = 13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 13 = 43 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 43·3.5 − 40·(3.5 − 1) − 2·3.5·1.75 = 38.25 kN·m

答案

M_x = 38.25 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −6.479 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·5 → C_y = 16.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16.67 = 3.333 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/5.831 = 0.5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3.333/0.5145 = −6.479 kN

答案

F_AB = −6.479 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −43.27 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 + 25·2 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 24 = 11 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0.5547 = −43.27 kN

答案

F_BC = −43.27 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ_max = 26.46 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 26.46 mm

答案

δ_max = 26.46 mm

8.梁的挠度

答案: h_req = 159.5 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·14) = 2.538 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·2.538 × 10⁷/75)^1/3 = 159.5 mm

答案

h_req = 159.5 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 16.65 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

计算长度

KL = 2·2000 = 4000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/4000² = 16655 N = 16.65 kN

答案

P_cr = 16.65 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 9.715 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7.5 = 266.7

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

答案

σ_cr = 9.715 MPa

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