梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 0.5 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 RA，以向上为正。
L = 4 mP = 70 kN 位于 1.5 mM = 25 kN·m (逆时针) 位于 0.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 4 mP = 40 kN 位于 1.5 mw = 3 kN/m，从 1 到 2 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 2 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 20 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mM0 = 20 kN·m 顺时针，作用于 2 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mP = 50 kN 位于 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 4.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 10 kN ↓G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 15 kN ↓F: 20 kN ↓F: 10 kN →G: 10 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。
P = 26 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 20 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 50 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·4 − 70·1.5 + 25 = 0
RB = 80/4 = 20 kN
竖向平衡
RA = 70 − 20 = 50 kN
答案
RA = 50 kN
负的反力向下作用。
2.梁的支座反力
答案: RA = 26.88 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN，作用于 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1.5 + 3·1·1.5
RB = 64.5/4 = 16.13 kN
ΣFy = 0: RA = 43 − 16.13 = 26.88 kN
答案
RA = 26.88 kN
3.剪力和弯矩
答案: Mx = −10 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 20/4 = 5 kN (向上)
RA = −RB = −5 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −5·2 = −10 kN·m
答案
Mx = −10 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 103.3 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 2·8·4
RB = 264/8 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 66 − 33 = 33 kN
在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 33·4.5 − 50·(4.5 − 4) − 2·4.5·2.25 = 103.3 kN·m
答案
Mx = 103.3 kN·m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 DH
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 D
CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 36.67 kN (T), BC: 36.67 kN (T), CD: 43.33 kN (T), DE: 43.33 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 45.83 kN (C), HE: 54.17 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 29.17 kN (T), HC: 20.83 kN (T)
答案
零杆: DH
6.桁架：节点法
答案: 杆件 DH
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 D
CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 38.75 kN (T), BC: 38.75 kN (T), CD: 16.25 kN (T), DE: 16.25 kN (T), FG: 32.5 kN (C), GH: 32.5 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 22.98 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 8.839 kN (C), HC: 22.98 kN (T)
答案
零杆: DH
7.梁的挠度
答案: δmax = 7.937 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 7.937 mm
答案
δmax = 7.937 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 3.796 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 26000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
最大值的位置
令较长段内的转角为零，即可得到该位置。
x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm
最大挠度
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 3.796 mm
答案
δmax = 3.796 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 19.62 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 2·1000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19.62 kN
答案
Pcr = 19.62 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 29.97 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 29.97 mm
答案
d = 29.97 mm
校核：长细比 KL/r 为 166.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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