结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABCRA​ = ?0.5 m2 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RA，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP1 = 30 kN 位于 0.5 mP2 = 25 kN 位于 4 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 75 kN, 40°Q = 20 kNABα = ?3 m1.5 m0.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 4.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 3 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 5 mP = 75 kN 位于 4.5 m, θ = 40°Q = 20 kN 位于 3 m
α = °
3.剪力和弯矩中等
w = 2 kN/mAB截面4.5 m0.5 m

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 4.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 10 kN/mAB5 m1 m

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 6 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB10 kN8 m6 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 10 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB15 kN25 kN6 m4 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 25 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
w = 12 kN/mδL = 2 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
P = 25 kNAB2 m2 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 4 mP = 25 kN 位于 2 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 1 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 4 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 9 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·2.5 = 30·0.5 + 25·4
RB = 115/2.5 = 46 kN

竖向平衡

RA = 30 + 25 − 46 = 9 kN

答案

RA = 9 kN
2.梁的支座反力

答案: α = 12.58 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

Pv = 75·sin 40° = 48.21 kN
Ph = 75·cos 40° = 57.45 kN

反力

ΣMA = 0: RB·5 = 48.21·4.5 + 20·3 → RB = 55.39 kN
Ay = 48.21 + 20 − 55.39 = 12.82 kN
Ax = Ph = 57.45 kN

A 处的方向

α = atan(Ay/Ax) = atan(12.82/57.45) = 12.58°

答案

α = 12.58°
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 2.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·5·2.5
RB = 25/5 = 5 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 5 = 5 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 5RB​ = 5截面4.5 m0.5 m

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 5·4.5 − 2·4.5·2.25 = 2.25 kN·m

答案

Mx = 2.25 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 42.53 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·5·2.5
RB = 125/6 = 20.83 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 20.83 = 29.17 kN

剪力为零

剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 29.17/10 = 2.917 m

最大弯矩

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 29.17·2.917 − 10·2.917²/2 = 42.53 kN·m

答案

Mmax = 42.53 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −9.014 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·6 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 7.5 = 2.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.8321 = −9.014 kN

答案

FBC = −9.014 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = 12.5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB15 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·4 + 25·3 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 22.5 = −7.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−7.5/0.6 = 12.5 kN

答案

FAB = 12.5 kN (受拉)
7.梁的挠度

答案: δ = 13.64 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 13.64 mm

答案

δ = 13.64 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 7.813 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·25/16 = 7.813 kN

答案

RB = 7.813 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 3.312 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3.312 kN

答案

Pcr = 3.312 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 27.76 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa

答案

σcr = 27.76 MPa

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