结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 8 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 8 mP = 40 kN 位于 8 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 m

M_A = kN·m

2.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 2 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4.5 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 0.5 m 处的集中荷载 Q。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 2 mAD = 6 mP = 60 kN 位于 4.5 mw = 12 kN/m，从 2 到 6 mQ = 70 kN 位于 0.5 m

M_A = kN·m

3.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

4.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP = 15 kN 位于 2.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓D: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 20 kN ↓F: 20 kN ↓G: 25 kN ↓H: 35 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 0.5 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 10 kNa = 0.5 mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 3.5 m 处承受集中荷载 P。求梁的最大挠度 δ_max。

P = 12 kNb = 3.5 mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 25 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 25 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: M_A = 420 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2.5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 40·8 + 40·2.5 = 420 kN·m

答案

M_A = 420 kN·m

2.梁的支座反力

答案: M_A = 128 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 12·4 = 48 kN 位于 2 m ，量自 C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 60·2.5 + 48·2

R_D = 61.5 kN

V_C = 108 − 61.5 = 46.5 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 70 + 46.5 = 116.5 kN

M_A = 70·0.5 + 46.5·2 = 128 kN·m

答案

M_A = 128 kN·m

3.剪力和弯矩

答案: M_x = 9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 12·1 − 6·1·0.5 = 9 kN·m

答案

M_x = 9 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 32.81 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2.5 + 10·4·2

R_B = 117.5/4 = 29.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 29.38 = 25.63 kN

V = 0 在哪里？

V(2.5⁻) = R_A − w·2.5 = 0.625 kN

V(2.5⁺) = 0.625 − 15 = −14.38 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·2.5 − w·2.5²/2 = 25.63·2.5 − 10·2.5²/2 = 32.81 kN·m

答案

M_max = 32.81 kN·m

它出现在距 A 为 x = 2.5 m 处。

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 25 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 35.36 kN (C), HE: 49.5 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 7.071 kN (T), HC: 7.071 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 6.25 kN (T), BC: 6.25 kN (T), CD: 23.75 kN (T), DE: 23.75 kN (T), FG: 62.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 58.34 kN (C), HE: 33.59 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 30.05 kN (T), HC: 5.303 kN (T)

答案

零杆: BF

7.梁的挠度

答案: δ_B = 9.058 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 10000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 1.647 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.004941 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 9.058 mm

答案

δ_B = 9.058 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 11.19 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 12000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

最大值的位置

令较长段内的转角为零，即可得到该位置。

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

最大挠度

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 11.19 mm

答案

δ_max = 11.19 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 13.25 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 2·2000 = 4000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13.25 kN

答案

P_cr = 13.25 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 69.69 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 69.69 mm

答案

d = 69.69 mm

校核：长细比 KL/r 为 229.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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