结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P = 40 kNM = 15 kN·mABRA​ = ?1 m2.5 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 3.5 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 RA，以向上为正。

L = 5 mP = 40 kN 位于 1 mM = 15 kN·m (逆时针) 位于 3.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w0​ = 20 kN/mP = 25 kNABMA​ = ?2.5 m1.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 20 kN/m；另在距墙 2.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 4 mw0 = 20 kN/mP = 25 kN 位于 2.5 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
w = 10 kN/mAB截面1 m4 m

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 5 kN/mP = 55 kNAB截面1.5 m1 m1.5 m

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 55 kN 位于 1.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB60 kN5 m2 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 60 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB35 kN15 kN6 m2 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 15 kN →
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 20 kN/mδL = 5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 12 kN/mP = 26 kNδL = 4 m

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 26 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 2 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 35 kNL = 2 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 35 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 35 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·5 − 40·1 + 15 = 0
RB = 25/5 = 5 kN

竖向平衡

RA = 40 − 5 = 35 kN

答案

RA = 35 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: MA = 169.2 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·20·4 = 40 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 40·2.667 + 25·2.5 = 169.2 kN·m

答案

MA = 169.2 kN·m
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 20 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·5·2.5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25截面1 m4 m

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 25·1 − 10·1·0.5 = 20 kN·m

答案

Mx = 20 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 40.31 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1.5 + 5·4·2
RB = 122.5/4 = 30.63 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 30.63 = 44.38 kN
w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​ = 44.38RB​ = 30.63截面1.5 m1 m1.5 m

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 44.38·2.5 − 55·(2.5 − 1.5) − 5·2.5·1.25 = 40.31 kN·m

答案

Mx = 40.31 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −50.91 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 24 = 36 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −36/0.7071 = −50.91 kN

答案

FAB = −50.91 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −31.94 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·2 + 15·3 → Cy = 19.17 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 19.17 = 15.83 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −19.17/0.6 = −31.94 kN

答案

FBC = −31.94 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 22.61 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 5000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 22.61 mm

答案

δmax = 22.61 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 29.63 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 26000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δP = PL³/(48EI) = 26000·4000³/(48·2.52 × 10¹²) = 13.76 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 15.87 mm

相加

δmax = 13.76 + 15.87 = 29.63 mm

答案

δmax = 29.63 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 78.48 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 2·2000 = 4000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN

答案

Pcr = 78.48 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 53.6 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 53.6 mm

答案

d = 53.6 mm

校核：长细比 KL/r 为 149.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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