结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 40 kNP2​ = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m2 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP1 = 40 kN 位于 1 mP2 = 55 kN 位于 3 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 75 kN, 30°Q = 75 kNABRA​ = ?3 m5 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 8 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 3 m 处作用一个竖向荷载 Q。 求铰支座 A 处总反力 RA 的大小。

L = 10 mP = 75 kN 位于 8 m, θ = 30°Q = 75 kN 位于 3 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
12 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 3 m12 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.剪力和弯矩困难
w = 6 kN/mP = 15 kNAB截面1.5 m3.5 m

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 15 kN 位于 1.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB10 kN5 m1 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 10 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB15 kN20 kN4 m1 m4 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 20 kN ←
FAC = kN
7.梁的挠度中等
w = 5 kN/mδL = 3 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
P = 25 kNAB4 m4 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 8 mP = 25 kN 位于 4 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
PL = 4 m20 × 100 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 3 md = 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 43.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 40 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​1 m2 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 55·3
RB = 205/4 = 51.25 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 51.25 = 43.75 kN

答案

RA = 43.75 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 88.42 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

Pv = 75·sin 30° = 37.5 kN
Ph = 75·cos 30° = 64.95 kN

反力

ΣMA = 0: RB·10 = 37.5·8 + 75·3 → RB = 52.5 kN
Ay = 37.5 + 75 − 52.5 = 60 kN
Ax = Ph = 64.95 kN

A 处的合力

RA = √(64.95² + 60²) = 88.42 kN

答案

RA = 88.42 kN
3.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 58.5 kN, R2 = 58.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 52.5, MC = 93, MD = 121.5 kN·m, ME = 93, MF = 52.5, MG = 0

答案

标记点 D: MD = 121.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 31.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1.5 + 6·5·2.5
RB = 97.5/5 = 19.5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 19.5 = 25.5 kN
w = 6 kN/mP = 15 kNABRA​ = 25.5RB​ = 19.5截面1.5 m3.5 m

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 25.5·1.5 − 6·1.5·0.75 = 31.5 kN·m

答案

Mx = 31.5 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −8.944 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·1 → Cy = 2 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2 = 8 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8/0.8944 = −8.944 kN

答案

FAB = −8.944 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAC = −12.19 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB15 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·1 − 20·4 → Cy = −16.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −16.25 = 31.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−16.25/0.8 = 20.31 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(20.31)·0.6 = −12.19 kN

答案

FAC = −12.19 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δmax = 8.411 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 8.411 mm

答案

δmax = 8.411 mm
8.梁的挠度

答案: RB = 7.813 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·25/16 = 7.813 kN

答案

RB = 7.813 kN
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 8.225 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

计算长度

KL = 1·4000 = 4000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/4000² = 8225 N = 8.225 kN

答案

Pcr = 8.225 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 49.35 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答案

σcr = 49.35 MPa

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