梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 10 mP1 = 55 kN 位于 4 mP2 = 60 kN 位于 7 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 20 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 6 mw0 = 20 kN/mP = 10 kN 位于 5 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求支座 B 左侧紧邻处的剪力 Vx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP1 = 80 kN 位于 1 mP2 = 70 kN 位于 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 9 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP = 60 kN 位于 2 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 mx = 9 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 15 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
F: 30 kN ↓F: 15 kN →
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
7.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 3.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 5 kNa = 3.5 mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 2 m 处承受集中荷载 P。 求跨中挠度 δmid。
P = 25 kNb = 2 mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 105 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 105 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 51 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·10 = 55·4 + 60·7
RB = 640/10 = 64 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 64 = 51 kN
答案
RA = 51 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 170 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 60·2 + 10·5 = 170 kN·m
答案
MA = 170 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: Vx = −27.5 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·8 = 80·1 + 70·10
RB = 780/8 = 97.5 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 97.5 = 52.5 kN
在 B 左侧紧邻处截开，保留左侧部分
Vx = RA − P1 = 52.5 − 80 = −27.5 kN
答案
Vx = −27.5 kN
4.剪力和弯矩
答案: Mx = 34.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·2 + 5·10·5
RB = 370/10 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 37 = 73 kN
在 x = 9 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 73·9 − 60·(9 − 2) − 5·9·4.5 = 34.5 kN·m
答案
Mx = 34.5 kN·m
5.桁架：节点法
答案: FAB = −4.76 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 15·7 → Cy = 13.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 13.13 = 1.875 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 3/7.616 = 0.3939
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −1.875/0.3939 = −4.76 kN
答案
FAB = −4.76 kN (受压)
6.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 41.25 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 13.75 kN (T), FG: 41.25 kN (C), GH: 13.75 kN (C), AF: 32.81 kN (C), HE: 17.19 kN (C), BF: 10.31 kN (C), CG: 0, DH: 10.31 kN (T), BG: 17.19 kN (T), DG: 17.19 kN (C)
答案
零杆: CG
7.梁的挠度
答案: δP = 32.1 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 5000 N, a = 3500 mm, b = 4500 mm, L = 8000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·3500²·4500²/(3·1.61 × 10¹²·8000) = 32.1 mm
答案
δP = 32.1 mm
8.梁的挠度
答案: δmid = 16.08 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 25000 N, b = 2000 mm, L = 8000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
跨中挠度
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 25000·2000·(3·8000² − 4·2000²)/(48·1.14 × 10¹³) = 16.08 mm
答案
δmid = 16.08 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 86.82 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1000² = 86818 N = 86.82 kN
答案
Pcr = 86.82 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 54.26 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 54.26 mm
答案
d = 54.26 mm
校核：长细比 KL/r 为 147.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis