梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 8 kN/m。 求竖向支座反力 RB。
L = 4 mw0 = 8 kN/m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P，并从 6 m 到位于 8 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RA，以向上为正。
AB = 6 mAC = 8 mP = 80 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 6 到 8 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 10 m10 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
4.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求从 A 到弯矩最大截面的距离 x0。
L = 10 mw = 10 kN/m，从 0 到 2 m
x0 = m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 35 kN ↓D: 25 kN ↓H: 35 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 20 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 3 mP = 80 kN 位于 1.5 m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 65 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 65 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 10.67 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
三角形荷载的合力
W = ½·8·4 = 16 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 16·2.667
RB = 10.67 kN
RA = 16 − 10.67 = 5.333 kN
答案
RB = 10.67 kN
2.梁的支座反力
答案: RA = 36 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
分布荷载的合力
W = 12·2 = 24 kN, x̄ = (6 + 8)/2 = 7 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 80·3 + 24·7
RB = 408/6 = 68 kN
RA = 104 − 68 = 36 kN
答案
RA = 36 kN
3.剪力和弯矩
答案: F (x = 10 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 15 kN, R2 = 35 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 30, MC = 40, MD = 50, ME = 60, MF = 70 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = 70 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: x0 = 1.8 m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·2·1
RB = 20/10 = 2 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 2 = 18 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 18/10 = 1.8 m
答案
x0 = 1.8 m
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 30.94 kN (T), BC: 30.94 kN (T), CD: 40.31 kN (T), DE: 40.31 kN (T), FG: 35.63 kN (C), GH: 35.63 kN (C), AF: 51.56 kN (C), HE: 67.19 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 7.813 kN (T), HC: 7.813 kN (C)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: FAB = −18.17 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·2 + 20·4 → Cy = 18.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 18.75 = 16.25 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16.25/0.8944 = −18.17 kN
答案
FAB = −18.17 kN (受压)
7.梁的挠度
答案: θA = 0.003137 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 2·4000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.003137 rad
答案
θA = 0.003137 rad
即 0.1798°。
8.梁的挠度
答案: RB = 25 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN
答案
RB = 25 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 6.056 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 2·5000 = 10000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/10000² = 6056 N = 6.056 kN
答案
Pcr = 6.056 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 101.8 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N
KL = 2·4000 = 8000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 101.8 mm
答案
d = 101.8 mm
校核：长细比 KL/r 为 314.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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