梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。 求墙处的竖向反力 RA。
L = 5 mP = 60 kN 位于 4 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 15 kN/m；另在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 4 mw0 = 15 kN/mP = 25 kN 位于 4 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
60 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 5 mP = 40 kN 位于 4 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 30 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 20 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 85 kN
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
分布荷载的合力
W = 5·5 = 25 kN, x̄ = 2.5 m
竖向平衡
RA = P + W = 60 + 25 = 85 kN
答案
RA = 85 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 180 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·15·4 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 30·2.667 + 25·4 = 180 kN·m
答案
MA = 180 kN·m
3.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 38 kN, R2 = 58 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 35, MC = 64, MD = 87, ME = 104 kN·m, MF = 55, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 104 kN·m
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 60.17 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·4 + 12·5·2.5
RB = 310/5 = 62 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 62 = 38 kN
V = 0 在哪里？
RA − w·x0 = 0 → x0 = 38/12 = 3.167 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 38·3.167 − 12·3.167²/2 = 60.17 kN·m
答案
Mmax = 60.17 kN·m
它出现在距 A 为 x = 3.167 m 处。
5.桁架：节点法
答案: FAC = 6.25 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6.25 = 18.75 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.25/0.7071 = −8.839 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−8.839)·0.7071 = 6.25 kN
答案
FAC = 6.25 kN (受拉)
6.桁架：节点法
答案: FBC = 4.507 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·2 − 30·4 → Cy = −2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − −2.5 = 52.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−2.5/0.5547 = 4.507 kN
答案
FBC = 4.507 kN (受拉)
7.梁的挠度
答案: δmax = 19.05 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 8000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 19.05 mm
答案
δmax = 19.05 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 204.3 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·16.67) = 8.878 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·8.878 × 10⁷/125)1/3 = 204.3 mm
答案
hreq = 204.3 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 225 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN
答案
Pcr = 225 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 37.9 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 37.9 mm
答案
d = 37.9 mm
校核：长细比 KL/r 为 211.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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