梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
结构力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 4 mP1 = 20 kN 位于 1 mP2 = 35 kN 位于 2.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 4 mP = 45 kN 位于 1.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 2 m
RB = kN
3.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求支座 B 左侧紧邻处的剪力 Vx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mP1 = 45 kN 位于 1 mP2 = 40 kN 位于 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 10 mP = 55 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 0 到 10 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
H: 20 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
C: 40 kN ↓D: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 30 kN ↓H: 20 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 2.5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 26.88 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·4 = 20·1 + 35·2.5
RB = 107.5/4 = 26.88 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 26.88 = 28.13 kN
答案
RB = 26.88 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 18.38 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN，作用于 x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·1.5 + 3·2·1
RB = 73.5/4 = 18.38 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 18.38 = 32.63 kN
答案
RB = 18.38 kN
3.剪力和弯矩
答案: Vx = −20.83 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1 + 40·8
RB = 365/6 = 60.83 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 60.83 = 24.17 kN
在 B 左侧紧邻处截开，保留左侧部分
Vx = RA − P1 = 24.17 − 45 = −20.83 kN
答案
Vx = −20.83 kN
4.剪力和弯矩
答案: Mmax = 243.8 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·3 + 12·10·5
RB = 765/10 = 76.5 kN
ΣFy = 0: RA = 175 − 76.5 = 98.5 kN
V = 0 在哪里？
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (98.5 − 55)/12 = 3.625 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 3) − w·x0²/2 = 243.8 kN·m
答案
Mmax = 243.8 kN·m
它出现在距 A 为 x = 3.625 m 处。
5.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 5 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 5 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 7.071 kN (C), HE: 21.21 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (C), BG: 7.071 kN (C), DG: 7.071 kN (T)
答案
零杆: CG
6.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 61.67 kN (T), BC: 61.67 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 65 kN (T), FG: 130 kN (C), GH: 130 kN (C), AF: 102.1 kN (C), HE: 81.25 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 60.42 kN (T), HC: 56.25 kN (T)
答案
零杆: BF
7.梁的挠度
答案: θA = 0.002899 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 5·4000³/(24·4.6 × 10¹²) = 0.002899 rad
答案
θA = 0.002899 rad
即 0.1661°。
8.梁的挠度
答案: hreq = 264 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2.5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·6000⁴/(384·11000·20) = 1.918 × 10⁸ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.918 × 10⁸/125)1/3 = 264 mm
答案
hreq = 264 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 91.39 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
计算长度
KL = 1·1500 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1500² = 91385 N = 91.39 kN
答案
Pcr = 91.39 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 77.11 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
回转半径和长细比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6.25 = 160
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa
答案
σcr = 77.11 MPa
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