结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP₁ = 75 kN 位于 0.5 mP₂ = 30 kN 位于 4 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 35 kN 位于 4.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 8 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m

M_max = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓F: 25 kN ↓F: 10 kN →G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 2 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 5 mw = 5 kN/m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 42 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 75·0.5 + 30·4

R_B = 157.5/2.5 = 63 kN

竖向平衡

R_A = 75 + 30 − 63 = 42 kN

答案

R_A = 42 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 19.42 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·4.5 + 4·4·2

R_B = 189.5/6 = 31.58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 31.58 = 19.42 kN

答案

R_A = 19.42 kN

3.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 77 kN, R₂ = 77 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 130, M_C = 212, M_D = 246 kN·m, M_E = 212, M_F = 130, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 246 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_max = 35.56 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·8·4

R_B = 320/6 = 53.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 53.33 = 26.67 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 26.67/10 = 2.667 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 26.67²/(2·10) = 35.56 kN·m

答案

M_max = 35.56 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −18.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0.8 = −18.75 kN

答案

F_AB = −18.75 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 50.63 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 30.62 kN (T), FG: 50.63 kN (C), GH: 30.62 kN (C), AF: 67.71 kN (C), HE: 51.04 kN (C), BF: 29.17 kN (T), CG: 0, DH: 25.83 kN (T), BG: 1.042 kN (T), DG: 32.29 kN (C)

答案

零杆: CG

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.003008 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 2·1500³/(24·9.35 × 10¹⁰) = 0.003008 rad

答案

θ_A = 0.003008 rad

即 0.1723°。

8.梁的挠度

答案: R_B = 9.375 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9.375 kN

答案

R_B = 9.375 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 263.2 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2500² = 263189 N = 263.2 kN

答案

P_cr = 263.2 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 179 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

回转半径和长细比

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

答案

σ_cr = 179 MPa

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