结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 25 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?1.5 m1.5 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 5 mP1 = 25 kN 位于 1.5 mP2 = 40 kN 位于 3 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 3 kN/mP = 65 kNADCMA​ = ?3.5 m1.5 m1 m

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3.5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 5 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w。 求墙处反力矩 MA 的大小。

AC = 3.5 mAD = 6 mP = 65 kN 位于 5 mw = 3 kN/m，从 3.5 到 6 m
MA = kN·m
3.剪力和弯矩中等
P1​ = 50 kNP2​ = 45 kNABC4 m4 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 9.5 mP1 = 50 kN 位于 4 mP2 = 45 kN 位于 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 2 kN/mABC8 m1 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。

L = 9 mw = 2 kN/m，从 0 到 9 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB40 kN6 m1 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB35 kN15 kN4 m3 m2 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 15 kN →
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 2 kN/mABθ6 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.梁的挠度困难
w = 20 kN/mδL = 2.5 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 m40 × 60 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 35 kNL = 2.5 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 35 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 31.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 25 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​1.5 m1.5 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·5 = 25·1.5 + 40·3
RB = 157.5/5 = 31.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 31.5 = 33.5 kN

答案

RB = 31.5 kN
2.梁的支座反力

答案: MA = 104.1 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 3·2.5 = 7.5 kN 位于 1.25 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·2.5 = 65·1.5 + 7.5·1.25
RD = 42.75 kN
VC = 72.5 − 42.75 = 29.75 kN

AC 段

铰力 VC 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

RA = 29.75 = 29.75 kN
MA = 29.75·3.5 = 104.1 kN·m

答案

MA = 104.1 kN·m
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 66.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 45·9.5
RB = 627.5/8 = 78.44 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 78.44 = 16.56 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·4 = 16.56·4 = 66.25 kN·m

答案

Mx = 66.25 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 15.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·9 = 18 kN，作用于 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·9·4.5
RB = 81/8 = 10.13 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 10.13 = 7.875 kN

剪力为零

RA − w·x0 = 0 → x0 = 7.875/2 = 3.938 m

最大正弯矩

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 7.875²/(2·2) = 15.5 kN·m

答案

Mmax = 15.5 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −12.96 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·1 → Cy = 6.667 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 6.667 = 33.33 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.667/0.5145 = −12.96 kN

答案

FBC = −12.96 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −37.73 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 + 15·2 → Cy = 33.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 33.75 = 1.25 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33.75/0.8944 = −37.73 kN

答案

FBC = −37.73 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: θA = 0.007143 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

端部转角

θA = wL³/(24EI) = 2·6000³/(24·2.52 × 10¹²) = 0.007143 rad

答案

θA = 0.007143 rad

即 0.4093°。

8.梁的挠度

答案: Ireq = 20.93 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2500⁴/(384·70000·6.944) = 2.093 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 20.93 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 20.93 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 141.5 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1250² = 141491 N = 141.5 kN

答案

Pcr = 141.5 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 84.76 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 84.76 mm

答案

d = 84.76 mm

校核：长细比 KL/r 为 236，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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