结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 8 kN/m 减小到 B 处的零。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mw₀ = 8 kN/m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 1 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 3 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 8 mP = 70 kN 位于 1 m, θ = 40°Q = 75 kN 位于 3 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 3 mP = 30 kN 位于 1.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 3 m

M_A = kN·m

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 15 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 45 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 5 kN →

F_AB = kN

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 7 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 2 kNw = 10 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 26.67 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·8·10 = 40 kN

x̄ = L/3 = 3.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·3.333

R_B = 13.33 kN

R_A = 40 − 13.33 = 26.67 kN

答案

R_A = 26.67 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 101.6 kN

P 的分量

P_v = 70·sin 40° = 45 kN

P_h = 70·cos 40° = 53.62 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·1 + 75·3 → R_B = 33.75 kN

A_y = 45 + 75 − 33.75 = 86.25 kN

A_x = P_h = 53.62 kN

A 处的合力

R_A = √(53.62² + 86.25²) = 101.6 kN

答案

R_A = 101.6 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_A = −99 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −30·1.5 = −45 kN·m

w: −12·3²/2 = −54 kN·m

M_A = −45 − 54 = −99 kN·m

答案

M_A = −99 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 15.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1 + 3·4·2

R_B = 39/4 = 9.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 9.75 = 17.25 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 17.25·1 − 3·1·0.5 = 15.75 kN·m

答案

M_x = 15.75 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 8.438 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 → C_y = 33.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33.75 = 11.25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.75/0.9701 = −34.79 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−34.79)·0.2425 = 8.438 kN

答案

F_AC = 8.438 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −6.442 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·1 + 5·4 → C_y = 8.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 8.75 = 6.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6.25/0.9701 = −6.442 kN

答案

F_AB = −6.442 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: δ_P = 1.235 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 7000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 7000·2000²·1000²/(3·2.52 × 10¹²·3000) = 1.235 mm

答案

δ_P = 1.235 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 1.247 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 2000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·2500³/(48·4.6 × 10¹²) = 0.1415 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 1.106 mm

相加

δ_max = 0.1415 + 1.106 = 1.247 mm

答案

δ_max = 1.247 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 108.1 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108.1 kN

答案

P_cr = 108.1 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 19.28 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12.5 = 320

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19.28 MPa

答案

σ_cr = 19.28 MPa

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