结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?1.5 m1 m1.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 4 mP1 = 55 kN 位于 1.5 mP2 = 40 kN 位于 2.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 2 kN/mP = 25 kNABCRA​ = ?2.5 m0.5 m1.5 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2.5 m 处承受集中荷载 P，并从 3 m 到位于 6 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RA，以向上为正。

AB = 4.5 mAC = 6 mP = 25 kN 位于 2.5 mw = 2 kN/m，从 3 到 6 m
RA = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 2 kN/mAB截面9 m1 m

求距支座 A 为 x = 9 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 9 m
Vx = kN
4.剪力和弯矩困难
20 kN45 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 0 m45 kN @ 6 m55 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB50 kN6 m1 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 50 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB25 kN15 kN4 m1 m3 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 15 kN →
FAB = kN
7.梁的挠度中等
P = 19 kNABδ2.5 m3.5 m

简支梁在距支座 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 19 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 5 kN/mδL = 8 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 5 kNL = 1.5 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 5 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 5 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 45.63 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​1.5 m1 m1.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·4 = 55·1.5 + 40·2.5
RB = 182.5/4 = 45.63 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 45.63 = 49.38 kN

答案

RB = 45.63 kN
2.梁的支座反力

答案: RA = 11.11 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 2·3 = 6 kN, x̄ = (3 + 6)/2 = 4.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·4.5 = 25·2.5 + 6·4.5
RB = 89.5/4.5 = 19.89 kN
RA = 31 − 19.89 = 11.11 kN

答案

RA = 11.11 kN
3.剪力和弯矩

答案: Vx = −8 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10截面9 m1 m

在 x = 9 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 10 − 2·9 = −8 kN

答案

Vx = −8 kN
4.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 15 kN, R2 = 105 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −20, MC = −25, MD = −30, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0

答案

标记点 E: ME = −90 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAC = 13.89 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·1 → Cy = 8.333 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 8.333 = 41.67 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.333/0.5145 = −16.2 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−16.2)·0.8575 = 13.89 kN

答案

FAC = 13.89 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −7.906 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 + 15·3 → Cy = 17.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 17.5 = 7.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −7.5/0.9487 = −7.906 kN

答案

FAB = −7.906 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δP = 45.92 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 19000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 19000·2500²·3500²/(3·1.76 × 10¹²·6000) = 45.92 mm

答案

δP = 45.92 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 60 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·8000⁴/(384·200000·22.22) = 6 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 60 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 60 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 28.35 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1750² = 28349 N = 28.35 kN

答案

Pcr = 28.35 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 23.88 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 0.7·1500 = 1050 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 23.88 mm

答案

d = 23.88 mm

校核：长细比 KL/r 为 175.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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