结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 12 kN/m 减小到 B 处的零。距 A 为 4 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mw₀ = 12 kN/mP = 45 kN 位于 4 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 35 kN 位于 3.5 mw = 3 kN/m，从 3 到 4 m

R_A = kN

3.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP₁ = 65 kN 位于 1 mP₂ = 10 kN 位于 2.5 m

M_max = kN·m

4.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 15 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 55 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_AB = kN

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 2 m 处承受集中荷载 P。求梁的最大挠度 δ_max。

P = 4 kNb = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 54.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = L/3 = 2.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 48·2.667 + 45·4

R_B = 38.5 kN

R_A = 93 − 38.5 = 54.5 kN

答案

R_A = 54.5 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 15.83 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3.5 + 3·1·3.5

R_B = 133/6 = 22.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 38 − 22.17 = 15.83 kN

答案

R_A = 15.83 kN

3.剪力和弯矩

答案: M_max = 52.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·1 + 10·2.5

R_B = 90/4 = 22.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 22.5 = 52.5 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1 = 52.5·1 = 52.5 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1.5 = 22.5·1.5 = 33.75 kN·m

最大值

M_max = 52.5 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 52.5 kN·m

4.剪力和弯矩

答案: M_x = 23 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2 + 4·4·2

R_B = 62/4 = 15.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 15.5 = 15.5 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 15.5·2 − 4·2·1 = 23 kN·m

答案

M_x = 23 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −39.66 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·2 → C_y = 22 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 22 = 33 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22/0.5547 = −39.66 kN

答案

F_BC = −39.66 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −47.73 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 − 30·3 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 11.25 = 33.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33.75/0.7071 = −47.73 kN

答案

F_AB = −47.73 kN (受压)

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.01705 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 6·3000³/(24·3.96 × 10¹¹) = 0.01705 rad

答案

θ_A = 0.01705 rad

即 0.9766°。

8.梁的挠度

答案: δ_max = 2.147 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 4000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

最大值的位置

令较长段内的转角为零，即可得到该位置。

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

最大挠度

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2.147 mm

答案

δ_max = 2.147 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 154.3 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 2·1500 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154.3 kN

答案

P_cr = 154.3 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 9.715 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7.5 = 266.7

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

答案

σ_cr = 9.715 MPa

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