结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
w0​ = 8 kN/mP = 35 kNABRB​ = ?4.5 m0.5 m

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 8 kN/m 减小到 B 处的零。 距 A 为 4.5 m 处还作用一个集中荷载 P。 求竖向支座反力 RB。

L = 5 mw0 = 8 kN/mP = 35 kN 位于 4.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
P = 35 kNQ = 35 kNADCRD​ = ?3 m1 m3 m1 m

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 4 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 7 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 3 m 处的集中荷载 Q。 求滚动支座处的反力 RD。

AC = 4 mAD = 8 mP = 35 kN 位于 7 mQ = 35 kN 位于 3 m
RD = kN
3.剪力和弯矩中等
55 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 3 m40 kN @ 5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.剪力和弯矩困难
w = 5 kN/mABC4 m1 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。

L = 5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
Mmax = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB45 kN4 m1 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 45 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB55 kN15 kN8 m6 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 15 kN ←
FBC = kN
7.梁的挠度中等
w = 4 kN/mδL = 5 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
w = 12 kN/mδL = 6 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 m50 × 60 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 3 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 38.17 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·5 = 20·1.667 + 35·4.5
RB = 38.17 kN
RA = 55 − 38.17 = 16.83 kN

答案

RB = 38.17 kN
2.梁的支座反力

答案: RD = 26.25 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣMC = 0: RD·4 = 35·3
RD = 26.25 kN
VC = 35 − 26.25 = 8.75 kN

答案

RD = 26.25 kN
3.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 34.17 kN, R2 = 60.83 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 34.17, MC = 68.33, MD = 102.5 kN·m, ME = 81.67, MF = 60.83, MG = 0

答案

标记点 D: MD = 102.5 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mmax = 8.789 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·5·2.5
RB = 62.5/4 = 15.63 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 15.63 = 9.375 kN

剪力为零

RA − w·x0 = 0 → x0 = 9.375/5 = 1.875 m

最大正弯矩

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 9.375²/(2·5) = 8.789 kN·m

答案

Mmax = 8.789 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FBC = −15.91 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·1 → Cy = 11.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 11.25 = 33.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11.25/0.7071 = −15.91 kN

答案

FBC = −15.91 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FBC = −42.82 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·6 − 15·3 → Cy = 35.63 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 35.63 = 19.38 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −35.63/0.8321 = −42.82 kN

答案

FBC = −42.82 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δ = 13.02 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 4·5000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 13.02 mm

答案

δ = 13.02 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·6000⁴/(384·200000·16.67) = 6.075 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 60.75 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 197.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/2500² = 197392 N = 197.4 kN

答案

Pcr = 197.4 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 25.18 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/7.5 = 280

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25.18 MPa

答案

σcr = 25.18 MPa

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