结构力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​1.5 m2 m2.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 6 mP1 = 55 kN 位于 1.5 mP2 = 50 kN 位于 3.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
w = 2 kN/mP = 50 kNADCRD​ = ?3 m1 m4 m

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w。 求滚动支座处的反力 RD。

AC = 3 mAD = 8 mP = 50 kN 位于 4 mw = 2 kN/m，从 3 到 8 m
RD = kN
3.剪力和弯矩中等
w = 5 kN/mAB截面2.5 m7.5 m

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
4.剪力和弯矩困难
w = 3 kN/mP = 55 kNAB截面1 m3 m

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 55 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB55 kN8 m7 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 55 kN
FAB = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB55 kN20 kN5 m4 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 20 kN ←
FAB = kN
7.梁的挠度中等
P = 2 kNABδ1 m1 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。 求荷载作用处的挠度 δP。

P = 2 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 15 kN/mδL = 4 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m30 × 50 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 2 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 62.08 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1.5 m2 m2.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 55·1.5 + 50·3.5
RB = 257.5/6 = 42.92 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 42.92 = 62.08 kN

答案

RA = 62.08 kN
2.梁的支座反力

答案: RD = 15 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 2·5 = 10 kN 位于 2.5 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·5 = 50·1 + 10·2.5
RD = 15 kN
VC = 60 − 15 = 45 kN

答案

RD = 15 kN
3.剪力和弯矩

答案: Mx = 46.88 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25截面2.5 m7.5 m

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 25·2.5 − 5·2.5·1.25 = 46.88 kN·m

答案

Mx = 46.88 kN·m
4.剪力和弯矩

答案: Mx = 45.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1 + 3·4·2
RB = 79/4 = 19.75 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 19.75 = 47.25 kN
w = 3 kN/mP = 55 kNABRA​ = 47.25RB​ = 19.75截面1 m3 m

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 47.25·1 − 3·1·0.5 = 45.75 kN·m

答案

Mx = 45.75 kN·m
5.桁架：节点法

答案: FAB = −13.86 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·7 → Cy = 48.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 48.13 = 6.875 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/8.062 = 0.4961
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6.875/0.4961 = −13.86 kN

答案

FAB = −13.86 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −38.18 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kN20 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·4 − 20·4 → Cy = 28 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 28 = 27 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −27/0.7071 = −38.18 kN

答案

FAB = −38.18 kN (受压)
7.梁的挠度

答案: δP = 7.13 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 2000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa³/(3EI) = 2000·1000³/(3·9.35 × 10¹⁰) = 7.13 mm

答案

δP = 7.13 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 64.29 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·4000⁴/(384·70000·11.11) = 6.429 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 64.29 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 64.29 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 8.636 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/3000² = 8636 N = 8.636 kN

答案

Pcr = 8.636 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 56.65 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7.5 = 186.7

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186.7² = 56.65 MPa

答案

σcr = 56.65 MPa

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